Симметричные пространства, экстраполяционные относительно Lp-шкалы

• Автор: Лыков, Константин Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 107 с.

1 Основные обозначения и предварительные сведения

2 Экстраполяционные пространства

2.1 Определение и общие свойства экстраполяционных прост ранств

2.2 Экстраполяционное описание пространств Марцинкевича и

Орлича

2 3 Экстраполяционное описание пространств Лоренца

2.4 Сильно экстраполяционные пространства

2.5 Приложения к ортогональным рядам

3 О дополняемости подространств, порожденных сжатиями

и трансляциями

3.1 Тензорное произведение и пространство мультипликаторов

3 2 Подпространства, порожденные сжатиями и трансляциями
Список литературы

Симметричные пространства появились в работах по интерполяции линейных операторов и гармоническому анализу в конце 60-х годов [11, 37] В настоящий момент теория симметричных пространств представляет собой одно из важных направлений функционального анализа и служит мощным методом исследования конкретных пространств Настоящая диссертационная работа посвящена двум вопросам, теории экстраполяции и дополняемости подпространств в симметричных пространствах
В первой главе собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.
Вторая Глава IIосвящена экстраполяции в шкале Ь^-пространсів при
р —» 00.
Хорошо известно, что многие важные операторы анализа, такие, например, как максимальный оператор Харди-Литтльвуда, сингулярный оператор Гильберта, оператор перехода к сопряженной функции в гармоническом анализе, ограниченно действуют в /^-пространствах при 1 < р < оо, но не ограничены на "концах" этой шкалы — в пространствах и Ь[ (или хотя бы в одном из них). Это обстоятельство стало одной из причин возникновения экстраполяционных утверждений, первым из которых, видимо, стала классическая теорема Яно (см [45] или [25, гл. 12, теорема 4.41]).
Теорема (Яно). Пусть Т — линейный оператор, определенный на некотором подмножестве Ті [0,1].
1) Если Т действует в пространствах Ьр[0,1] при р Є (1,ро] «
\Т\1р_1р = О ((р~ 1)"°) при р —* 1 и некотором а > О,
то Т можно доопределить до оператора на пространстве Лоренца Ь(о$ Ь)а, действующего ограниченно в Ь:
\Tx\i:xpL^ у 1 0 В конце 80-х — начале 90-х годов прошлого века началась разработка общих подходов теории экстраполяции, связанная прежде всего с именами Яверса и Мильмана [34, 35, 39, 40]. В частности, используя введение ими функторы пересечения Д и суммы £ они получили экстраполяционное описание пространств, фигурирующих в теореме Яно (см., например, [39,

x*(t) — невозрастающая перестановка функции |a;(f)|.
2) Если Т действует в пространствах Ьр[0,1] при р Є [ро, сю) и
\T\Lp^Lp = 0{ра) при р —► оо и некотором а > О, тоТ действует из Ьх в пространство Орлича Exp L1/“:
с. 22-23]).

Приведем еще пример пространства Марцинкевича М(ір), для которою M(ip) С Lp для всех р < оо, но М(ф) ф £. Согласно замечанию 2 2 3, для последнего достаточно, чюбы Ф 0.
Пример 2.2.14. Для любого в Є (0,1) существует функция Є F такая, что ф, = в, М(<р) С Ьр для всех р < оо.
Начнем с построения функции c(t) ж которую будем искать в виде
+ 0С
с(0 где 1 = Со < Cl < • • • < С„ <

Для того, чтобы функция ф(Ь) = щ была эквивалентна некоторой функции ip(t) Є Т, достаточно потребовать выполнения условий:
с% Д с1+1 < 2с,, г = 0,1,... и с, -> оо при г —» оо. (2 18)
Действительно, если (2.18) выполнено, то ip(t) возрастает и при к > г ск < 2к~гси откуда
2кф(2~к) > 21ф(2~г).
Если теперь t < t2, ю t Є [2~k~l,2~k), t2 Є [2~I_1,2~г), к > і При зі ом
- < 21+1ф(2~г) < 2к+]ф(2~к) < 2шф{2~к~х) < 4®^
^2 t
Тем самым функция ф{Ь) эквивалентна некоторой вогнутой функции [11, с. 69]. Кроме того, ввиду (2.18) Ит(_0+ ФФ) = 0. В итоге ф(І) х ip(t) 6 Т Для того, чтобы Мфр) было вложено В Lp для всех р < оо, потребуем, чтобы
— < оо, 1 < р < 00,
<Д р