Асимптотика решений уравнений Вольтерра с однородными ядрами

• Автор: Цалюк, Марина Вадимовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Краснодар
• Количество страниц: 103 с.

Список обозначений

ГЛАВА 1 Линейные интегральные уравнения Вольтерра с однородными ядрами степени < — 1

§1.1 Устойчивость уравнения

§1.2 Допустимость некоторых пар пространств относительно

уравнения

§ 1.3 Критерии допустимости пар (Ао, Ао) и (Со, Со) относительно оператора

§ 1.4 Критерии допустимости пар (А0, Ао) и (Со, Со) относительно уравнения

§ 1.5 Критерии допустимости пар (Хл,т, Хл,т) и (Хл,т, Хл, т) относительно уравнения

ГЛАВА 2 Линейные интегральные уравнения Вольтерра с однородными ядрами степени —1

§2.1 Представление резольвенты разностного несуммируемого

ядра
§2.2 Асимптотика резольвенты однородного ядра, порождающего неограниченный в ВС оператор
ГЛАВА 3 Асимптотика решения уравнения Вольтерра с однородным ядром степени —1
§3.1 Некоторые свертки
§ 3.2 Асимптотика решения со свободным членом из Ап
Литература

Список обозначений
Z — множество целых чисел; Ж — множество вещественных чисел;
С — множество комплексных чисел;
[т] — целая часть числа тп Є Ж; {ш} = т — [гта];
Д[а, оо) = {(f, s) : а < s С = С ([а, сю) —У С) — пространство непрерывных на [а, оо) функций; ВС = ВС([а, оо) —> С) — пространство непрерывных и ограниченных на [а, оо) функций с нормой
||х|| = sup |x(i)|;
t>a
А0 = Ао([ а, оо) —>■ С) — подпространство функций из ВС, имеющих конечный предел на бесконечности;
Со = Со ([а, оо) —>■ С) — подпространство функций из ВС, для которых lim x(t) = 0;
і-у оо v '
An = An([a, оо) —» С) — подпространство функций из Ao, имеющих представление
x(t) = Со + Cit-1 + c2t~2 H 1- Cnt~n + t~nip(t), где v? Є Со;
Пусть А = {Ао = 0, Аі, Аг, ...} — некоторая неограниченно возрастаю-

щая последовательность действительных чисел. Будем считать = 0.

ХЛ,т = jx(i)€ ВС: x(t) = Е + t —» ool при целом т > 0;
^ к=0 '
ХЛ>ГО *= |х(£) Є ВС : x{t) — ^ + t —> ool при целом т > 0;
^ к=О
Li[a, оо) = Ai ([а, оо) С) — пространство суммируемых на [а, оо) функций.

I. Настоящее диссертационное исследование посвящено изучению асимптотических свойств решений линейных интегральных уравнений Вольтерра
с однородным ядром K(t, s).
Изучение различных асимптотических свойств решений уравнений составляет значительную часть соответствующей теории уравнений. Достаточно сослаться на методы малого параметра, усреднения, ВКБ-метод и другие. Не меньшее значение имеет и выяснение асимптотических по времени свойств решений уравнений, описывающих эволюционные процессы. Например, для дифференциальных уравнений этой задачей занимались такие математики, как А. Пуанкаре, О. Перрон, М. Хукухара, Э. А. Кодцинг-тон, Ф. Хартман и А. Уинтнер, Р. Веллман и многие другие. Их результаты уже вошли в учебники (см. [10], [23], [37], [42]).
В середине XX века активно изучалось асимптотическое поведение решений при t —> оо дифференциальных уравнений с запаздыванием (см., например, монографии А. Д. Мышкиса [28], Р. Веллмана и К. Кука [4]).
Асимптотика решений интегральных уравнений Вольтерра с разностным ядром, по-видимому, впервые изучалась Н. Винером и Р. Пэли [11]. Кроме того, в связи с задачами теории восстановления активно изучалось поведение решения уравнения восстановления. Соответствующие результаты подробно изложены в книгах В. Феллера [41] и Б. А. Севастьянова [38], [39]. Асимптотика решений интегральных уравнений Вольтерра с разностным ядром, а также асимптотическое представление резольвенты, интенсивно изучались Дж.Дж. Левиным [60]—[62], 3. Б. Цалюком [46]—[48], [18]—[20],
В. А. Дербеневым [15], [16], [18]—[20].
t > 1,
(В.1)

значит, так как d = v или d— [и], уравнение
kiiij) - Ki(z)
также имеет корень iy кратности > d, то есть
Ki(iy) - Ki(z) = {z- iy)d^{z), где Ф(г) не имеет особенности в точке z = гу. Тогда
+ (сТд^)М = (1 + ад) [A-,(i7) - Ш} =
= (1+й(2))[(г-^ад]^Ь
= (1+й(2))Ф(2)г(<г),
следовательно точка г = iy не является особой для Дд^г) + (G * Д^) {z). Поэтому в представлении (2.6) все коэффициенты Cj = 0 и
AKl(t) + (G*AKi){t) = U(t) € In[0, oo).
Так как
• AL(t) = AKo(t) + (G * AKo) (t) + AKl(t) + (G * AKl) (i) G Li[0, oo),
то и

td~l - J(t - s)d_1e~*7SL(s) ds = e-^Abit) G li[0, oo),

что и доказывает 4), а значит и всю лемму. ■
Пусть теперь известны корни уравнения 1 — k(z) = 0. Сводя уравнение (2.1) к уравнению с суммируемым ядром L(t) так, чтобы выполнялись утверждения леммы 3.2, можно получить вид резольвенты первоначального ядра K(t). Заметим также, что если e^lKo(t) G 1ч[0, оо) при некотором /3 > 0, то в разложении резольвенты 7?jr(t) будут учитываться не только корни, лежащие в правой полуплоскости, как это делалось для случая суммируемого ядра K(t), но и лежащие в полосе — /3 < Re z < 0, что позволяет уточнить асимптотику #к(£).
Лемма 2.3. Пусть e^K0(t) G Li[0, оо) при некотором /3 > 0.
1) Для того, чтобы e^iljc(t) G Li[0, оо), необходимо и достаточно выполнения условия
1 - К {г) ф 0, Rez> -/3. (2.7)