Локальные разложения по системам сплайновых сдвигов

• Автор: Лыткин, Сергей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 66 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Разложение но системе сдвигов В-сплайна
Глава 2. Оценка погрешности приближения
Глава 3. Свойства оператора Т в Г2
Глава 4. Разложение по системе сдвигов пирамидальных функций ... 55 Литература

Введение
Тема диссертации находится на стыке двух областей математики, активно развивавшихся во второй половине XX века. С одной стороны, основной базой работы служит аппарат сплайн-функций, в особенности В-сплайнов. Главным объектом исследования является линейный оператор, представляющий собой линейную комбинацию сдвигов одного фиксированного сплайна. Этот порождающий сплайн, как правило, является 5-сплайном с компактным носителем, система сдвигов которого является базисом некоторого пространства сплайнов. Последнее обстоятельство роднит тему диссертации с другой областью, весьма популярной в последние десятилетия, — теорией всплесков (иначе называемых вэйвле-тами), в которой, как правило, рассматриваются обладающие свойством базисности системы сдвигов и сжатий одной фиксированной функции. Всплески имеют весьма значительный практический интерес, например, в обработке сигналов и изображений. Теория всплесков достаточно полно изложена таких монографиях, как [1]—[4]. Поскольку диссертация не напрямую связана со всплескам, детально вдаваться в эту область не будем, а приведём лишь одно определение, взятое из [2, с. 96].
Определение 1. Система элементов гильбертова пространства Д называется фреймом, если существуют такие полоэ/сителъные числа А и В, что для всех элементов / гильбертова пространства выполняются неравенства
11/1|Ч|(ЛЛ-)12< ВЦ/112.

Наибольшее из возможных чисел А и наименьшее из возможных чисел В называются соответственно нижней и верхней границей фрейма.
Теории сплайнов посвящён ряд монографий, как отечественных, так и зарубежных (см., например, [5]—[9]). Перечислим некоторые определения и теоремы, касающиеся сплайнов, которые потребуются в дальнейшем, следуя в основном книге [5].
Через I будем обозначать конечный промежуток [а, 6] или всю действительную ось К. Пусть задано разбиение X промежутка I
X: а = 2,'0 < х < ... < .тдг = Ъ, если I = [а, Ь],
X: .. < :с_1 < хц < х < ... < хц < хм+ <
Для целого к 0 через Ск(1) обозначим множество к раз непрерывно дифференцируемых на I функций, а через — множество кусочно-
непрерывных функций с точками разрыва первого рода в точках сетки.

Определение 2. ([5, с. 15]) Функция 5П)У(х) называется сплайном степени п 0 дефекта и [и — целое число, 0 г; п + 1) с узлами на сетке X, если
а) на каждом отрезке [ж*, а-ц] функция Бп<и{х) является многочленом степени не выше п, т. е.
Множество сплайнов, удовлетворяющих определению, обозначим через БпХ). Это множество является линейным пространством; в случае конечного промежутка I его размерность равна 7Ум + та— и + 1 ([6, с. 12]). Простейшим примером сплайна является функция Хевисайда
с которой естественным образом связана усечённая степенная функция
Важным классом сплайнов являются 5-сплайны. Пусть сначала сетка X является конечной. Расширим её, добавив дополнительные точки
Возьмём функцию (рп(х,{) = ( —1)"+1(ж — £)" и построим для неё разделённые разности (определение см., например, [10, с. 43]) (тг+ 1)-го порядка по значениям аргумента і = Х{,, хп+. В результате получаются функции переменной х.
Определение 3. ([5, с. 18]) В-сплайном степени п на сетке

5п>іу(.ї) = о.)(х — ХіУ для х Є [хі,хі+і]

і = 0
6) 5;і,„(ж) є Сп~»{1).
0, если х < 0,
если х 0, если х < 0.
X—л . ''С X— 'С а, Ъ . 'С
Хі, . , Жї_|_п-|4, І — ТІ, . , N
назовём функцию
-®п(®) — (ХІ+ТІ+1 хі)уОпх, Х{, . , Хі-п-і.

функции с номерами г = к — 1, к при п — 1, г = к — 1, к, к +1 при п — 2, I = к — 2, /с — 1, /с, /с + 1 при гг = 3. Следовательно, при / € 7-1 (-0 на отрезке имеем
ТД = + скВки Т2/ = + скВк2 +
Т3/ = сБ*-2 + сБ*'1 + сьБ| + ск+1В1+
Производная DnTnf является постоянной. Вычисляя производные В-сплайнов, получим
ОТД{х) = М{ск-ск), (2.7)
Б2Т2/(:е) ее ЛГ2(с! - 2ск + сл+0, (2.8)
Т)3Т3/(х) ЕЕ 7У3(сй_2 - 3<Д_! + Зщ - С,с+1). (2.9)
Производная Б'1_1ТП/ является линейной на отрезке [хк-, хк, поэтому
Оп-гТп/{х) тах{|- 1)Ь)|, |Т>п_1Тп/(/с7г)}.
Для п — 2, 3 отсюда получаем, что
|£>Т2/(х)| 7Гтах{1с* - ск-\, ск+ - с*|}, (2.10)
|Б2Т3Д:п)| ЛГ2 тах{|сй_2 - 2с*_! + с,|, |с*,_1 — 2са, -Р са+1 I}- (2-11)
Теорема 2.5. Пусть / 6 Т*(7), 1р<оо,7 + ~ = 1, 1 < й < п,
гг = 1,2,3. Тогда
||ОТп/||Р<С(п18)р)||Ф|1||9||/М||р.
Доказательство. Доказательство проведём для случая 1 < р < оо, случаи р = 1 и р = оо доказываются аналогично, и даже несколько проще. Начнём со случая п = в — 1. Используя (2.7) и неравенство Гёльдера, имеем
11(ВД'11£ = Е [|№/уирх = Е|Жсг-й-1)Г = -1х

2-1+1 27*+1
х Е| / (яо - я* - л>)фк*) *[ < Е /1/(0 - я* - Л)1

Хг_! 27*-!
2-1+1 р 271+1

2-г—1 Ж<