Асимптотика δ-субгармонических функций и их ассоциированных мер. Применение в вопросах полноты систем экспонент

• Автор: Румянцева, Алла Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 93 с.

Оглавление
Введение
1 Связь асимптотического поведения (^-субгармонических функций и их ассоциированных мер

1.1 Исключительные множества степенной

малости

1.2 Предварительные сведения и формулировки основных утверждений

1.3 Асимптотическое поведение ассоциированных мер. Доказательство теоремы

1.4 Асимптотическое поведение ^-субгармонических функций. Доказательство теоремы

2 Взаимосвязь задач о полноте систем экспонент в различных пространствах

2.1 Редукция задачи о полноте систем экспонент в выпуклой области на случай круга

2.2 Полнота систем экспонент в весовых пространствах на интервале вещественной оси

Библиография

Введение
Диссертация посвящена исследованию связи между асимптотическим поведением разности двух субгармонических функций и асимптотическим поведением разности их ассоциированных мер, а также применениям полученных результатов к вопросам полноты систем экспонент.
Частным случаем задачи о связи между асимптотикой в бесконечности разности двух субгармонических функций и асимптотическим поведением разности их ассоциированных мер являются задачи построения целых функций с заданным поведением в бесконечности, а также задача об изменении поведения целой функции при сдвигах ее нулей.
Исследования по указанным темам проводили B.C. Азарин ([1]), А.Ф. Гришин ([9]), И.Ф. Красичков-Терновский ([14], [15]), С.Ю. Фа-воров ([38]), Б.Н. Хабибуллин ([39], [58]), P.C. Юлмухаметов ([3], [42], [43], [44], [45], [46]), D. Drasin ([54]), J. Korevaar ([59]), Yu. Lyubarskii ([26], [63]), Ortega-Cerda и K. Seip ([64]), M.L. Sodin ([26]),
I.E. Chyzhikov ([52]), A. Goldberg ([55]) и другие.
Задача о полноте систем экспонент в различных функциональных пространствах является классической. С историей и современным состоянием дел в задаче о полноте систем экспонент в пространствах функций, определенных и аналитических в плоской области,

Введение

можно ознакомиться в монографиях Б.Я. Левина ([17]), М.А. Евграфова ([12]), И.И. Ибрагимова ([13]), А.Ф. Леонтьева ([20],[21]).
Исследования полноты систем экспонент в различных пространствах функций, определенных на интервале вещественной оси, достаточно полно освещены в ряде обзоров и монографий. Перечислим лишь некоторых авторов: B.C. Азарин ([2]), А.Ф. Леонтьев ([18], [19]), Б.В. Винницкий ([4], [5], [6]), Н. Винер и Р. Пэли ([69]), Н. Левинсон ([62]), М.М. Джрбашян ([11]), Л. Шварц ([68]), P.M. Янг ([70]), П. Кусис ([60], [61]), В.П. Хавин и Б. Ериккс ([57]), А.М. Сед-лецкнй ([34], [35], [36]), Б.Н. Хабибуллин ([40]), В.Н. Логвиненко ([23]),
A. Boivin ([51]), G.T. Deng ([53]), R.M. Redheffer ([65], [66]).
Напомним определения некоторых понятий, используемых в диссертации:
Определение. Пусть Е — множество к С. Функция / ; Е —» [—оо, оо) называется полунепрерывной сверху (пн. св.), если для любого числа а множество
открыто в Е, то есть найдется открытое множество С С такое, что Ef(a) = Г2 р| Е.
Функция д : Е —» (—оо,оо] называется полунепрерывной снизу (пн. сн.), если функция — д пн.св. или, что то же самое, для любого числа а множество {г & Е : д(г) > а} открыто в Е.
Определение. Функция и : С —> [—оо; +ос) называется субгармонической в области в, если она полунепрерьтна сверху и для любой точки го € (7 найдется положительное число г (го) так, что для всех положительных г < г{го) будет выполняться неравенство
Е/(а) = {z Е Е : f{z) < а}

u(z0) < u(zo + relip)dip.
1.3. Асимптотическое поведение ассоциированных мер
Рассматривая отдельно случаи а > 0 и а < 0, получим отсюда £ *л-<2“+1Г* £
К/ 2<гЩ<2К Я/2<ф|<2Я
где а+ = тах(а, 0). Теперь из обозначенных свойств покрытия Б и из того, что следует оценка
< 377(2) • 2"+Г>(0,4й) < А>,+1Ы(2)С2П+ №-<*.
Я/2<Щ |<2Л Лемма (1.1) доказана.

Лемма 1.2. Пусть и — субгармоническая функция на плоскости, имеющяя конечный порядок роста, то есть для некоторых 6, р
и(г) < 5др, г > 1, (1-16)
и А — открытое множество на плоскости. Тогда существует постоянная С, не зависящая от множества А, такая, что для всех V) Е С, |гн| > 1, и Не (б, выполняется оценка
I КОМО < СИМОДц, Д) РИ) 1“ б! п •
аС(и>,В.)ГА (г(’-тс)| I А)
где ^й(С) ~ элемент длины дуги окружности
С (щи, Щ — {г : |ш — г = 7?}.
Доказательство. Очевидно, что функция и+(г) удовлетворяет нера,-венству (1.16), значит, для некоторого 61 для всех 2 Е С выполняется оценка и+(г) < Ф(|г| + 1)р. Следовательно, для всех т е С, |ш| > 1 и К Е ^0, имеем
[ и+(С)дз(С) <ф2>|^№,Я)р|Л), (1.17)
7С(м,Л) П А