Пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и абсолютно представляющие системы экспонент в них

• Автор: Тищенко, Елена Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 124 с.

Содержание.
Введение
Глава 1. Пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и аналог теоремы Пэли-Винера-Шварца

§1.1 Предварительные сведения

§1.2 Весовые банаховы пространства пробных функций

§1.3 Пространства пробных функций типа Берлинга

§1.4 Пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга

§1.5 Ультрараспределения

§1.6 Теорема типа Пэли-Винера-Шварца

Глава 2. Абсолютно представляющие системы экспонент и их свойства (многомерный случай)

§2.1 Основные определения и вспомогательные результаты

§2.2 Связь абсолютно представляющих систем экспонент и слабо
достаточных множеств
§2.3 Р-кратно ненулевые дискретные абсолютно представляющие
системы экспонент
§2.4 Специальный класс абсолютно представляющих систем экспонент
Глава 3. Абсолютно представляющие системы экспонент минимального типа (одномерный случай)
§3.1 Постановка задачи, основные определения и структура главы
§3.2 Пространство непрерывных мультипликаторов
§3.3 Формулировка основного результата главы
§3.4 Достаточные условия для абсолютно представляющих систем
минимального типа
§3.5 Описание абсолютно сходящихся нетривиальных разложений
нуля по минимальным системам
§3.6 Пример абсолютно представляющей системы экспонент минимального типа
Список обозначений
Литература

Введение.
Актуальность темы. В диссертационной работе изучаются пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и абсолютно представляющие системы экспонент в них. Пространства бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных изучались с разных позиций многими математиками и имеют широкую сферу применений (см., например, [4], [25]—[27], [33], [34], [42], [44] и библиографию к ним). Одно из важнейших направлений в изучении этих пространств тесно связано с теорией распределений и ее приложениями [38], [39], [41], [43], [45]. Так, Р.Брауном, Р.Майзе и Б.А.Тейлором [41] было осуществлено обобщение подхода Берлинга-Бьорка, основанного на определении пространств ультрадифференцируемых функций и соответствующих пространств ультрараспределений через весовую функцию. Суть этого подхода заключается в том, что берется одна весовая функция ш, а пространства определяются с помощью весовых последовательностей двух типов {таа,}^=1 и ® частном случае а;(г) = гр пространство, со-
ответствующее последовательности {^}я=1, совпадает с пространством Жеврея порядка 1 /р, которое, как известно, используется в математической физике и теории тригонометрических рядов. В то же время, такие важные классы пространств, которые задаются последовательностями где Чп /' до ИЛИ qn до, до € (0,оо),
до сих пор в общей ситуации не изучались.
С другой стороны, в последнее время возрос интерес к изучению абсолютно представляющих систем в различного рода пространствах. Во-первых, это обусловлено тем, что решению задач, связанных с

ней функцией <рш(х) := и>(ех) определим функцию ср*ш(у) := sup(ху- (ры(х)),уе R,

которая называется двойственной с по Юнгу. Так как мы условились считать, что сс(1) = 0, то <рш(0) = 0, а, следовательно, и ~ Как известно, ip*выпукла на R и, если <рш выпукла (то есть, со удовлетворяет (<$)), то (<р£)* совпадает с срш. В после-
дующем будем опускать индекс ш в записи и ср*ш и писать просто
'р И If*.
Предложение 1.2.3. Пусть со удовлетворяет условию (7) весовой функции и ср* - функция, двойственная по Юнгу к р(х) = ш(ех). Тогда для любой функции / £ D(co;K) справедлива оценка
sup sup |/<“>(х)|е-»-<М) 4 (1.2.1)
a€N£zeRp К^Г
Доказательство.
Так как для со выполнено (7), то по лемме 1.2.1 D(co;K) C->Z)(JT), и, как отмечено в §1.1(6), У/ £ D{coК) Да £
/(а)И = ~ J ГтиДе^> dt, Ул £ RP.

Тогда Ул £ RP, Va £ Щ
s; Wr !Ш |М|ИЛ 4 (^[|/|1“ 'Sp/H1“+",!l"“w -

'7IU-expsupdolr - tp(r)) = —~ll/IU-e^ (|a|)
(2тт)р r-^o (2x)
(здесь ln+ U = 0, если !1<1и ln+ u = lnu, если и > 1).