Аппроксимация функций тригонометрическими полиномами в L2 и фрактальными функциями в C

• Автор: Васильев, Станислав Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 89 с.

Содержание
0. Введение
0.1. История вопроса
0.2. Основные результаты
1. Неравенство Джексона для приближения функций в Ь2
1.1. Неравенства Джексона с обобщенным модулем непрерывности
1.2. Точность константы в неравенстве Джексона
1.3. Оценки аргумента модуля непрерывности в неравенстве
Джексона с минимальной точной константой
1.4. Оценки для константы К в неравенстве
Яп-1(/) < Кмф (/,*)
2. Приближение фрактальными функциями в С
2.1. Метод фрактальной интерполяции
2.2. Интерполяция с ограничением на константы Липшица
2.3. Интерполяция с ограничением на выпуклость
2.4. Фрактальная интерполяция в среднем
Основные обозначения и определения к главе
Основные обозначения и определения к главе
Список литературы

0. Введение
0.1. История вопроса
Работа состоит из двух глав. В первой главе диссертации рассматривается задача о неравенстве Джексона для наилучших приближений функций пространством тригонометрических полиномов. Во второй главе исследуется задача приближения функций классом фрактальных функций.
В теории приближения особую роль играет неравенство Джексона между величиной наилучшего приближения функции некоторым классом функций и модулем непрерывности функции. Первым в этой области является результат Д. Джексона для наилучших равномерных приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. К настоящему времени эта тематика получила большое развитие. Опишем некоторые из известных результатов, имеющих непосредственное отношение к теме работы.
Обозначим через С — Сфг пространство вещественных непрерывных 27г-периодических функций одной вещественной переменной с равномерной нормой \fWc — тах{|/(ж)| : х Е К}. Наилучшим равномерным приближением функции / 6 С тригонометрическими полиномами Ьп степени не выше п называется величина
а ее равномерным модулем непрерывности порядка т — 1,2,... называется функция переменного 5 > О
Зафиксируем числа т > 0, т & N. Хорошо известно следующее нера-
Еп(/)с = прп ||/ — £„11(7,

венство [77, 4,. 55j
En-i(f)c с константой /С = 1С(т,т) < оо, зависящей только от т и т. Этот результат означает, что величина
являющаяся наименьшей константой /С в неравенстве (0.1) при фиксированных т, т, п, равномерно ограничена по п, т.е. конечна величина
Д. Джексон [76, 77] в 1911 году впервые установил неравенство (0.1) при 777 = 1, Т.е. оценил НаИЛуЧШве равномерное приближение i?„_i(/)c непрерывной 27г-периодической функции / тригонометрическими полиномами степени не выше п — 1 через ее модуль непрерывности ш(/)г)с — (/)'г)с (первого порядка). С.Б. Стечкин [55] получил нера-
венство (0.1) при m > 2; при т = 2 этот результат был ранее опубликован Н.И. Ахиезером [4, с. 217, с. 190]. Неравенство (0.1) при т ~ 1 называют неравенством Джексона, а для модулей непрерывности старших порядков - неравенством Джексона-Стечкина. Указанный результат был перенесен на пространства Lp = Lv, 1 < р < оо, измеримых 2тг-периодических функций, (см. [59, гл.5]).
Наряду с качественной картиной в этой области большой интерес (в частности, для вычислительных целей) представляют точные результаты. Первое точное неравенство Джексона (в пространстве С = CW) установил Н.П. Корнейчук [37] (1962 г.). Позднее этой тематикой в теории приближения занимались ученики Н.П. Корнейчука, а также многие известные математики: В.В. Арестов, В.И. Бердышев, В.Т. Гаври-люк, В.В. Жук, В.И. Иванов, A.A. Лигун, В.Ю. Попов, Л.В. Тайков,
Н.И. Черных, В.А. Юдин, Chin-Hung Chin и другие.
(0.2)
/С(т, т)с = sup £„(т, т)с• neN
(0.3)
Следствие 1.4. Пусть <р € Ф и величина г(ср) < 0, тогда для любых /ев2 и п Е N выполняется неравенство
Еп-1(П <

у/Щ *
Если (р Е Ф и г(<р) < О , тогда при всех п Е N имеет место оценка

тп{Ф) < 2тг
Лемма 1.9. Пусть функция ^ 6 для некоторого к Е N и величина г((р) > О, тогда для веса
((1 - г)2к - (1 - ЦЫ)2к)/(2/с)! при г е
(1 - г)27(2 к)
при £
_А_ 1 2^, I
приведенного в лемме 1.4, справедливо неравенство

г((р) + г4(<р) - гг(<р)

J(v,'y)> 1(у)Р(у) при 7> п_х^ ,
2' 2 к> —
Доказательство. Вес и удовлетворяет условиям (1.19), следовательно, по лемме 1.7, достаточно показать что величины £(Ы)у(2к1)сИ =
7 £(/г£)с?£ неположительны при к > 7. На отрезке [0, -ф|] находится полных периодов функции £(/г£) и интеграл от £(/г£) по £ по остатку этого отрезка не меньше г(ф)/к. На отрезке 1 находится 5^(1 — -гщ) полных периодов функции £(Л.£), и интеграл по остатку второго отрезка не больше г^{р)/к. Таким образом,
[ £(/г£)г/2^(£)(й = — ( ^ £(М)сИ + / £(М)сИ <

_2тт1у2.
пМ г(<д)

Это выражение неположительно при

-(1 2тт

Ч(<р) ~ Ы<р) г(ф)

Ч (у) /г '
(1.31)