Аппроксимация операторов в нормированных операторных идеалах

• Автор: Рейнов, Олег Иванович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 282 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава О. Предварительные сведения и обозначения

§1. Общие сведения

§2. Векторные решетки, пространства измеримых функций, меры

1. Векторные решетки и пространства измеримых функций

2. Банаховозначныо объекты

3. Меры Радона и универсальная измеримость

§3. Операторные идеалы и тензорные произведения

1. Операторные идеалы

2. Примеры операторных идеалов

3. Тензорные произведения
4. След
5. Примеры тензорных произведений
6. Аппроксимационные свойства
§4. Калейдоскоп: некоторые отдельные определения и факты
1. Компактные и слабо компактные отображения
2. Принцип локальной рефлексивности
3. Расстояние Банаха-Мазура
4. Дополняемость. Тип и котил
5. Декартовы /р-суммы
6. Свойство Шура
7. Абстрактные Тр-пространства
8. £р-пространства
9. Два результата. И. Линденштраусса

Глава I. Операторы Радона Никодима:
их геометрия и аналитические свойства
§1. Геометрические свойства операторов Радона.-Никодима
§2. Операторы, действующие между банаховыми пространствами и векторными решетками
1. Аппроксимация конечномерными операторами: случай идеальных пространств измеримых функций
2. Аппроксимация конечномерными операторами: случай абстрактных банаховых решеток
§3. Операторы, действующие из С-пространств
1. Пространство X)
2. О факторизации операторов, действующих из С-пространств
3. Применения к операторам со значениями в Дэе-пространствах
§4. Операторы Ра дона-Никодима, условно слабо компактные операторы и Iр -Ур мультипликаторы
1. Операторы Радона-Никодима как 1р-Ур мультипликаторы
2. Условно слабо компактные операторы (общие факты)
3. О композициях операторов с р-интегральными отображениями
4. Дальнейшие свойства условно слабо компактных операторов, связанные с 1Р-УР ьгультишпгкатораып
5. Еще несколько (контр(примеров
§5. Применение к аппроксимации операторов конечномерными
в топологии компактной сходимости
1. Операторы типа БХ и аппроксимация линейных непрерывных отображений конечномерными: первые связи
2. Контрпример к гипотезе А.Гротендика
3. Дополняемые операторы, операторы ИХ и операторы
с аппроксимационными свойствами
§6, Операторы 1?Х и меры в сопряженных банаховых пространствах
1. Центральные результаты
2. Первые применения; немного об ШЧ-множествах
§7. 7?.V-множества в сопряженных пространствах
§Э. Об универсальной измеримости с применением к теории ИХ-мно-
жеств
1. Характеризация универсально измеримых отображений
2. Применения
§9. Функции I класса Бзра. и их применения к аппроксимации
операторов конечномерными
1. Бэровские функции I класса со значениями в метрических пространствах
2. Универсальная измеримость квазибэровских функций
3, Доказательство основных теорем
4. Применения
Глава II. Аппроксимация
§1. Простое доказательство двух теорем А. Гротендика о 2/
§2. Насколько плохим может быть банахово пространство со свойством
аппроксимации?
1. Аппроксимация операторами из замкнутых идеалов: свойства аппроксимации А-МАР(1)
2. АР не влечет ВАР(1)
3. Доказательства теорем 2.2.1-2.2.
4. Другой подход: насколько хорошиып могут быть
операторы без свойства C-MAP(J)?
§3. Пространства без свойства аппроксимации порядка р : случай р с? 1
1. Пример пространства без свойства аппроксимации с достаточно хорошими конечномерными подпространствами
2. Свойства аппроксимации APS при 0 < р < 1 и дальнейшие
примеры
§4. Дальнейшие вариации на конечномерную тему: случай
р = 1
§5. Вокруг одного вопроса Ю. А. Брудного
§6. Аппроксимационные свойства АРр, 0 < р ^ +оо, и С-МАРр, 1 ^ р ^
^ +оо
1. Некоторые общие утверждения о свойствах АРр
2. Немного о свойствах С-МАРр (С-метрической аппроксимации порядка р) : когда АРр влечет С-МАРр?
3. Пример: пространство Харди Н°°
4. Топологический аспект
§7. Пространства без свойств АРр, 1 ^ р ^ +ос
1. Существование пространств без свойств АРр, 1 ^ р +ос
2. Основная теорема. Неравносильность свойств О-МАР при разных

3. Применения основной теоремы. Нерегулярность идеалов Np : случай незамкнутоети Np в Npe*
§8. Исчезновение тензорных элементов в шкале р-ядерных операторов
1. Где исчезают тензорные элементы?
2. Где исчезают р-ядерные операторы?
3. Плохие квазичрядерные операторы
§9 Непрерывность шкал некоторых операторных идеалов
1. Общая постановка, задач
2. Непрерывность Чр- и 1/р-норм
3. Некоторые следствпя
4. (Контр(пример

условий аппроксимации (Гротендика) для банаховых пространств. Пространство Е обладает свойством аппроксимации (свойством АР), если тождественный оператор на нем аппроксимируется в топологии компактной сходимости конечномерными операторами (детали и другие переформулировки этого определения можно найти непосредственно в первоисточнике [80]).
Пусть фиксировано некоторое число С > 1. Говорят, что банахово пространство X обладает свойством С-ограниченной аппроксимации (в другой терминологии, — свойством С-метрической аппроксимации, свойством С-МАР), если тождественный оператор пространства X лежит в замыкании в топологии компактной сходимости шара радиуса С нормированного пространства всех конечномерных линейных непрерывных операторов в Л’ : для любого числа е > 0 и для всякого компакта К С X существует такой конечномерный оператор Я € X* ®Х, что ]Д|| < С и ||х — Ях\ < е. Пространство X обладает свойством ограниченной ап-
проксимации(свойством ВАР), если оно обладает свойством С-ограниченной аппроксимации для некоторого числа С > 1. Переформулировка этих определений в терминах тензорных произведений будет приведена ниже в п. 3.6.
Рассматриваемые топологические пространства предполагаются отделимыми.
§2. Векторные решетки, пространства измеримых функций, меры
1. Векторные решетки и пространства измеримых функций. Говоря о векторных решетках и решетках измеримых функций, мы придерживаемся терминологии в [15]. Пусть Я — подмножество некоторой векторной решетки Е. Говорят, что Е нормально содержится в Е, если из соотношений х € Г1,у € Е, [у| О |т[ следует, что у £ Г".
Норма || • || на векторной решетке называется монотонной, если ||х|| ^ ||.у|| для любых двух элементов х,у € Е, таких, что |ж| ^ |у|. Векторная решетка, снабженная монотонной нормой и полная по этой норме, называется банаховой решеткой. Банахова решетка (БР) называется решеткой минимального типа, если всякий порядковый интервал [—е, е] С Е слабо компактен. Примерами таких решеток могут служить пространства £р(р), 1 ^ р < оо.
Пусть (П,Е,р) — произвольное пространство с положительной мерой. Го(й) = 1,о(П,Е,р) обозначает решетку всех (классов эквивалентности) скалярнозначных р-иэмеримых функций на П.
Если мера р сг-конечна, то в пространстве Го(П, Е,р) каждое порядково ограниченное множество имеет супремум и инфимум. Обозначения £?(р) '.= Гр(П,Е,р) стандартны. Для А € 5 через уд мы обозначим характеристическую функцию множества А.
Под чисто неатомпческой мерой р мы понимаем меру, обладающую следующим свойством: для всякого множества А € Е,р(А) > 0, существует такое множество В € Е,В С А, что р(В) > 0. Если в П найдется такое подмножество По 6 Е, что сужение меры р на него (т.е. на «т-алгебру Е|п0) является ненулевой чисто неатомической мерой, то мы говорим, что мера р — не чисто атомическая. В противном случае мера р называется чисто атомической.