Продолжение сохраняющих меру действий с подгруппы на группу

• Автор: Еременко, Антон Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 85 с.

1. Продолжение действий счетных абелевых групп
1.1. Существование и число корней из сохраняющего меру преобразования
1.2. Подход, основанный на «динамической альтернативе»
1.3. Число корней из типичного преобразования
1.4. Евклидовы решетки
1.5. Действия с чисто точечным спектром
2. Задача о продолжении в классе локально компактных абелевых и неабелевых групп
2.1. Число потоков, включающих типичное преобразование
2.2. Обзор траекторного подхода к задаче продолжения
2.3. Продолжение действия с нормальной подгруппы
2.4. Использование спектрального подхода
Список литературы

Актуальность темы. Локально компактная группа (7 с инвариантной мерой та действует па пространстве с мерой (X, р), если определено измеримое отображение Бд: (б х Х,тд х р) —>• (X, р),
(д, х) и- Бдх,
такое что = 16 (1с — единица группы (?, 1с1 — тождественное преобразование) и
^992Х — Зд1Зд2Х,
для элементов х £ X из множества полной меры, не зависящего от д, д^. Действие Эс сохраняет меру, если для всех д е б и любого измеримого множества А С X
№рА) = )
(по поводу определений см. также [10]). Всюду далее принимается, что (X, р) — пространство Лебега, а все действия подразумеваются сохраняющими меру. Не ограничивая общности можно считать, что X — [0; 1), р — стандартная мера Лебега на прямой.
Классическими объектами эргодической теории являются действия группы Ъ, т. е. собственно сохраняющие меру преобразования, и потоки — действия группы К. В общей ситуации одним из способов получить информацию о действии может быть изучение ограничения Бс на подгруппы Н С С. Естественно спросить, какие в принципе действия Н могут возникнуть таким образом, иными словами, какие действия Н могут быть продолжены до действия объемлющей группы С.
Определение 0.1. Пусть Н подгруппа в группе б?. Будем говорить, что действие Бо продолжает действие Тц, если Тд = 5д У/г £ Н.
Обозначение: 3 Т#.
В задаче о продолжении можно выделить естественные подзадачи, которые несколько неформально перечислены ниже:
- Когда существует продолжение данного действия?
- Является ли свойство иметь продолжение типичным в пространстве всех действий группы Н1
- Для данной пары Я С С? привести примеры действий Тя, имеющих и не имеющих продолжения.
- Сколько неизоморфных продолжений может существовать у данного действия и какое число продолжений реализуется в типичной ситуации?
В вопросе о существовании продолжения Бя Э Т#, как правило, подразумевается, что действие 8с должно быть свободным, т. е. для каждого д 6 С? множество неподвижных точек преобразования имеет меру нуль.
Типичность того или иного свойства понимается в смысле слабой топологии в пространстве АЫ(Х, р) (если речь идет о преобразованиях) или, более общо, во множестве представлений данной локально компактной группы преобразованиями из АЫ(Х, р). При этом существенно, что слабая топология метризуема и соответствующее метрическое пространство полно.
Определение 0.2. Говорят, что некоторое свойство типично, если множество обладающих им действий является массивным, т. е. дополнение к нему в пространстве всех С-действий представляет собой множество первой категории (= объединение счетного набора нигде не плотных множеств).
Классическими вариантами общей задачи о продолжении являются проблемы извлечения корня из преобразования (С? = Z, Я — пЪ) и включения преобразования в поток (С? = К, Я = Ъ).
Корнем данной степени г, г £ К, г > 2, из Т £ АЫ(Х, р) называется такое сохраняющее меру обратимое преобразование 5, что 5Г = Т.
на Н (анпулятор Н). Пусть р: G —>■ Н — канонический гомоморфизм, ker р = Ann Н. Если М — подгруппа в G, такая что
М П Ann Я = {0} (1.35)
(0 — тривиальный характер), то ограничение р на М является изоморфизмом на свой образ.
Теорема 1.30. Пусть действие Т// обладает чисто точечным спектром £#. Можно указать действие Sq, продолжающее Тя, если и только если Ея = р(М) для некоторой подгруппы М С G, удовлетворяющей условию (1.35).
Достаточность. Мы можем считать, что действие Тя есть сдвиг на 2я;
Th(u) = uh • u, и Є Ея,
где щ определяется аналогично (1.34). Пусть М — подгруппа в G из условия теоремы, Ея = р{М). Рассмотрим действие Sq на Ея:
Sg(u) =Tg‘U, (1.36)
где функции тд заданы равенствами
т,(Л) = p-l(X)(g), j€C, АеЕ„.
Вычислим значение Ть(и) и Sg(u) на произвольном элементе Л Є Ея:
Th(u)(X) = X(h) • и(Л) = p{x)(h) ■ u(Л), Sa(u)(X) = Р~х)(9) ■ u(X) = х(д) ■ u(X),
где Л = р(х)- По определению р
х{д) = p(x){h),
если д = h Є Н, значит, Sq Э ТяЗамечание. Поясним, как возникают функции тд. Пусть действие Sg Э Тя построено, и Eg — его (чисто) точечный спектр. Обозначим