Аналоги теоремы Уитни о продолжении для пространств ультрадифференцируемых функций, определяемых многомерным весом

• Автор: Ляликова, Елена Реомировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 115 с.

Оглавление
Введение
ГЛАВА I. ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ ТИПА БЕРЛИНГА
И РУМЬЕ
1.1. Пространства пробных функций
1.2. Пространства пробных функций типа
Берлинга и Румье
1.3. Пространства ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье.
ГЛАВА II. ТЕОРЕМА БОРЕЛЯ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ ТИПА БЕРЛИНГА И РУМЬЕ
11.1. Постановка задачи и формулировка основного результата.
11.2. Достаточные условия справедливости аналогов теоремы Бореля в терминах пространств целых функций
Н.З. Доказательство основного результата
ГЛАВА III. ТЕОРЕМА УИТНИ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ УЛЬТРАДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ ТИПА БЕРЛИНГА И РУМЬЕ
III.1. Теорема о продолжении для классов £{ы}-
Ш.2. Теорема о продолжении для классов С(иу
ГЛАВА IV. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ВЫПОЛНЕНИЯ
АНАЛОГА ТЕОРЕМЫ УИТНИ
IV. 1. Специальные семейства многочленов
IV.2 Необходимое условие сюръективности
оператора сужения
Литература
Введение
Актуальность темы. В диссертационной работе решается задача о продолжении по Уитни в пространствах ультрадифферен-4 цируемых функций типа Берлинга и Румье, определяемых при
помощи многомерного веса. Пространства бесконечно дифференцируемых функций с ограничениями на рост производных изучались многими математиками и имеют многочисленные приложения (см., например [17], [25], [36], [39], [43]). Известно два основных подхода к заданию ограничений на рост производных: при помощи фиксированной последовательности положительных чисел (подход Данжуа-Карлемана) или через весовую функцию (подход предложен А.Берлингом в [24] и реализован впоследствии Г.Бьорком в [25]). Дальнейшее развитие второй подход получил в работе Р.Брауна, Р.Майзе и Б.А.Тейлора [30]. В отличие от Г.Бьорка, который брал полуаддитивную сверху функцию N вещественных переменных, они рассмотрели, с одной стороны, более узкий класс весовых функций, имеющих вид ш(|а:|), х € но, с » другой стороны, ослабили требование полуаддитивности и сверху,
заменив его следующим условием:
3К > 1 : и>(х + у) < К( 1 + и(х) + ш(у)) для всех х > 0, у > 0.
Пространства, исследуемые в [30], задаются при помощи весовых
последовательностей вида (пц)}^г и {—а;}“=1, и называются про-

странствами ультрадифференцируемых функций типа Берлинга и Румье соответственно. В частном случае ш(г) = гр простран-
. ство, задаваемое последовательностью {— совпадает с про-

странством Жеврея порядка которое, как известно, использу-

ется в математической физике и теории тригонометрических рядов. Недавно А.В.Абаниным и Е.С.Тищенко [2], [15] (см. также [16]) была исследована более общая, чем в [30] ситуация, когда

пространства определяются с помощью произвольных (возрастающих или убывающих по индексу) последовательностей весовых функций зависящих от одной переменной. Случай, ко-
гда весовые функции зависят от переменных |х1|,..., |®лг|» а пространства задаются последовательностями как в [2], [15], [16] не рассматривался. Существенным отличием изучаемых нами пространств от [2], [15], [16], [30] является то, что рост производных одного и того же порядка может удовлетворять отличным друг от друга весовым оценкам.
С другой стороны, в последнее время возрос интерес к решению задач типа Бореля и Уитни о продолжении в различного рода пространствах (см., например, [5], [6], [8]—[10], [27], [28], [32], [33], [36], [42]).Эти задачи возникли на основе следующих двух теорем:
Теорема Бореля (1895г.; см. [29])
Для любой последовательности (ха}аек0 вещественных или комплексных чисел существует бесконечно дифференцируемая функция / одной вещественной переменной с /*а*(0) = ха, Уа € К0.
Теорема Уитни (1934г.; см. [44])
Пусть К ф 0 — компакт в ШД и (/а)а—последовательность непрерывных на компакте К функций (иными словами, джет). Следующие утверждения эквивалентны:
равномерно пох,у Є К, когда у — х —> 0.
Интерес к этим проблемам обусловлен, в частности, тесной взаимосвязью решения задач о продолжении с задачей о разрешимости различных функциональных уравнений и о разложении в ряды экспонент (см., наприм., [8]). Ю.И.Любич и В.А.Ткаченко в [9] доказали, что для квазианалитических классов, определяемых при помощи последовательности {гав}“! положительных чисел аналог теоремы Бореля места не имеет. В то же время, как было установлено в ряде упомянутых выше работ, в случае неквазианалитических классов при дополнительном ограничении
(г) З/ Є С°°(К*): /(“>|* = /“, V« € (іі) Vт € N0 и а Є равенство
№ <т‘
выполняется

md mj) = и P(*J) :=

= {fe H(CN): 3K Ш G I Vn e N |/|я*(/)-*п(г) < oo}.
Рассмотрим теперь случай, когда пространство пробных функ-т ций задается невозрастающими по п последовательностями функ-

Пусть = Clind—невозрастающий по п набор непрерыв-
ных и неубывающих по каждой переменной функций, удовлетворяющих условию 1.1.1(7). Образуем пространство пробных функ-

ций типа Румье D(Clirui;K) = (J D(u„К) и наделим его топо-

логией внутреннего индуктивного предела пространств D(ujn К). Здесь учтено, что D(ujn; К) С D(un+u К) (п = 1,2,...). Кратко будем писать D(Ctind К) := ind.D(u>„; К). При условии разделен-

ности весовых функций: Vn € N
и>п(х) - ta„+i(x) -+ +00 при ||ж(| -У +00, (1.2.6)
ш в силу отмеченного в предыдущем разделе D(un; К) вложено вполне
непрерывно в D{(jjn+i, К), Vn G N. Значит, К) есть LN*-
пространство (см. [14], стр.70).
Для неубывающей по п последовательности локально ограниченных в функций 4>ind = 0»}£=1 через 1(Уш) будем
обозначать индуктивный предел банаховых пространств Е(ф„) : I^ind) = indE(ip„). Если Ф,П(* удовлетворяет условию:

VWi(*) - V’n(z) -у +оо при ||z|| -► +00,
то пространство /(Фь»Д является /-^‘-пространством.
Мы, как и в случае пространств типа Берлинга, будем предполагать, что Ош удовлетворяет более жесткому условию разде-ленности:
Vn 3m и ЗС > 0 : V* € [0; +00)^,
Wm(t) + In(1 + ||i||) < u„(t) + С.