Аналитические методы в теории объемов многогранников в неевклидовой геометрии

• Автор: Байгонакова, Галия Аманболдыновна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Горно-Алтайск
• Количество страниц: 85 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Объем гиперболического идеального симметричного
октаэдра
1.1 Постановка задачи
1.2 Об объеме идеального октаэдра
2 Объем гиперболического гнтт-симметричного октаэдра
2.1 Условия существования
2.2 Соотношения между длинами и углами
2.3 Формула объема гиперболического октаэдра с
ттпт-еимметрией
2.4 Объем прямоугольного тетраэдра
3 Площади неевклидовых четырехугольников
3.1 Площадь трапеции в сферической геометрии
3.2 Формула Бретшпайдера для сферического
четырехугольника
3.3 Формула Бретшпайдера для гиперболического
четырехугольника

Введение
Актуальность темы. Римановы поверхности и их геометрические инварианты играют важную роль в современном комплексном анализе. Естественными трехмерными аналогами римановых поверхностей служат многообразия, моделируемые в неевклидовых геометриях. Важнейшим инвариантом указанных многообразий служит их объем. Для его нахождения каждое многообразие каноническим образом разбивается на многогранники. Вычисление объема многогранника - это классическая задача, известная со времен Евклида, не потерявшая актуальность в настоящее время.
Одним из актуальных направлений современного комплексного анализа является изучение пространства Тсйхмюллера, образованного геометрическими структурами па заданной римановой поверхности. Это пространство зависит от конечного числа параметров и представляет собой многообразие' с особенностями, которое в настоящее время принято называть коническим многообразием или орбифолдом. При этом, риманова поверхность разрезается на многоугольники с геодезической границей, длины сторон которых образуют в пространстве Тейхмюл-лсра систему координат Фепхсля-Ннльсена. Во многих случаях строение орбифолда описывается средствами элементарной евклидовой или неевклидовой геометрий, что и приводит к необходимости использования классических теорем в этой области, доказательства которых в современной литературе отсутствуют. Восполнению указанных пробелов в диссертации отводится особое внимание.
Диссертационная работа посвящена развитию новых аналитических методов для вычисления объемов неевклидовых многогранников.

Отмстим, что указанное направление активно развивается новосибирской геометрической школой ([2|, [24], [38] и т.д.). Изложенные ниже результаты могут быть также использованы и для вычисления объемов многогранников в пространствах постоянной кривизны (|2|, [38], |39|). Существенную роль в вычислении объемов евклидовых многогранников сыграли работы И. X. Сабитова [11] и А. А. Гайфуллина |18]. В 1996 году И. X. Сабитов [11] доказал, что объем трехмерного евклидова симплици-ального многогранника есть корень алгебраического уравнения, коэффициентами которого являются многочлены, зависящие только от комбинаторного типа многогранника и длин его ребер. В 2011 г. четырехмерный аналог этой теоремы был получен в работе А. А. Гайфуллина [18].
В гиперболическом и сферическом случаях ситуация является более сложной, формула объема для бнпрямоугольного тетраэдра была известна со времен Н. И. Лобачевского [22]. Объемы куба Ламберта и некоторых других неевклидовых многогранников вычислены Э. Б. Винбергом [3], Р. Келлерхальц [19], Я. 3. Моханти [28], Д. А. Деревниным, А. Д. Медных [17]. А. 10. Весниным [24]. Дж. Паркером [25]. М. Г. Пашкевич [8] и другими авторами.
Объемы гиперболических многогранников, имеющих хотя бы одну вершину на бесконечности, найдены Э. Б. Винбергом [3].
До последнего времени оставалась нерешенной классическая задача о вычислении объема произвольного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах. В 1999 году в работе Ю. Чо и X. Кима 116] была получена формула объема произвольного тетраэдра в виде суммы шестнадцати дплогарифмических функций. Позже в 2005 году Дж. Му-раками и У. Япо [29] также получили достаточно сложную формулу для вычисления объема произвольного тетраэдра. Более простое докнзатель-

Рис. 2.4: Пересечение октаэдра 0(А,В,С) со сферой
исходный многогранник допускает штт-симметрию, то соответствующий четырехугольник является сферическим ромбом (см. рис. 2.5). Согласно предположению о симметрии, четырехугольник можно раз-

делить на четыре прямоугольных треугольника с углами — и — и гипотенузой длины о. Применяя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников, получим равенства:
ВС п АС
соя а — со1; — «Л —, сояр = сот, — сос —, (2.5]
Л В сояр = «Ф — со!,

Из найденных соотношении непосредственно находим:
А С08 @ сов ~о соя /3 соя
соЬ — = — = -г.
2 соя а , А
соя асоЬ —