Приближенные симметрии Ли-Беклунда и их приложения к уравнениям в частных производных с малым параметром

• Автор: Кордюкова, Светлана Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 96 с.

1 Неклассические приближенные симметрии
Ли-Беклунда
1.1 Группы преобразований Лии классические
симметрии
1.2 Классические симметрии Ли-Беклунда
1.3 Неклассические симметрии
1.4 Приближенные симметрии
1.5 Приближенные условно-инвариантные решения
1.6 Вычисления приближенных условно - инвариантных решений
2 Асимптотические решения приближенного
уравнения Буссинеска
2.1 Получение уравнения Буссинеска из системы мелкой воды
2.2 Система потенциированных уравнений
КдФ-3 и КдФ-5: решения с постоянной амплитудой
2.3 Применение преобразований Ли-Беклунда
для решения линеаризованных уравнений
2.4 Асимптотические решения уравнения Буссинеска
2.5 Приближенные классические симметрии уравнения Буссинеска
2.6 Приближенно - инвариантные решения уравнения Буссинеска
Список литературы
В настоящей диссертации рассматриваются задачи, возникающие в приложениях современного группового анализа к уравнениям в частных производных с малым параметром. Диссертация состоит из двух глав и посвящена приближенным условным симметриям, которые рассматриваются в первой главе, и нахождению асимптотических решений приближенного уравнения Буссинеска -во второй главе.
Групповой анализ берет свое начало в работах С. Ли [46], [47]. Развитие он получил много лет спустя в работах Л.В. Овсянникова [18], [20], Л.С. Понтрягина [23],
Р. Олвера [21], Ж. Блумана [32], Н.Х. Ибрагимова [5], A.B. Шабата [16], В.И. Фущича [25] и многих других.
Приближенные симметрии, как отдельное направление в групповом анализе, появились в конце восьмидесятых годов двадцатого века в работах В.А. Байкова, Р.К. Газизова, Н.Х. Ибрагимова [2]. В этих работах рассматривались, в основном, точечные приближенные симметрий; строились приближенно-инвариантные решения.— Основная цель, поставленная в этих работах - нахождение приближенных решений уравнений в частных производных с малым параметром. Этим успешно занимались как в России, так и за рубежом. Работа эта продолжается до сих пор. Основные результаты принадлежат школе Ибрагимова Н.Х. и связаны с использованием понятия приближенных симметрий. Следует отметить, что имеется другой подход использования симметрий в задачах

Соответствующую приближенную (первого порядка точности) неклассическую симметрию Ли-Беклунда (1.41) вместе с продолжением возьмем в виде:
/О 1Ч д ^ ,о 1Ч д _ ,о 1ч д
X = (т] + £^)— + ДД77 + ег]) К А(т? + ег))-
о > I 1 /7 о 1 ь / 1 ^ I/ о
ии оих иЩ

+ Е>ххх(г) + £Г})~ . (1.64)

ьххх
1 ,
г] зависит от переменных ж, г, и, их иххххх.
Из определяющего уравнения (1.53) для оператора X получим: в нулевом порядке по £ — тождество, в первом порядке по £ — неоднородное уравнение в частных 'Ш1 производных первого порядка на функцию ц:
1 дг) 1 дг) 2 дг) 0 дг]
£ :-хт - их7] - и—- + их-~— + 3ихихх
(У^у СУХ (Уих (У'М'хх
/2
4” у-’^'хх 4~ ^'х'^ХХХ)
+ (10 'М'Хх'У'ХХХ + ’Э'У'х'Ч'ХХХх)
9иххх
дГ} (^б5)
ьхххх

+ (иххх + 15 иххихххх + £>ихиххххх')

ь//и/о/ Л/ Л*
^ТТТ'Г'Г — 0. Л> Л/ Л/ Л/ Л