Оптимизация приближенных методов решения некоторых классов интегральных уравнений и смежные вопросы теории приближенных методов

• Автор: Азизов, Музафар
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 203 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Оптимальные способы задания информации для полного решения уравнений Фредгольма с коэффициентами бесконечной гладкости
§1. Постановка задачи. Оптимальная аппроксимация относительно
предтабличного поперечника
§2. Вспомогательный материал
§3. Точный в логарифмической шкале порядок минимального радиуса информации для решения -уравнений Фредгольма с аналитическими ядрами и свободными членами
§4. Многомерный случай
§5. Случай 'ф - дифференцируемых ядер и свободных членов
Глава 2. Оптимальные способы задания информации для локального решения уравнений Фредгольма с коэффициентами бесконечной гладкости
§6. Постановка задачи
§7. Оценка информационной сложности локального решения уравнений Фредгольма с периодическими аналитическими коэффициентами
§8. Точный в логарифмической шкале порядок минимального радиуса информации для локального решения уравнений Фредгольма с аналитическими ядрами и свободными членами
§9. Многомерный случай

Глава 3.Алгоритмическая сложность приближенного решения граничных интегральных уравнений с бесконечногладкими коэффициентами при логарифмической сингулярности
§10. Интегральные уравнения со сглаживающими операторами и задачи приводящие к ним
§11. Постановка задачи о сложности операторных уравнений
§12.Вспомогательный материал
§13. Итерационный метод
§14. Точный порядок сложности слабо- сингулярных интегральных
уравнений с периодическими аналитическими коэффициентами 144 Глава 4. Некоторые применения прямых и
аппроксимационно-итеративных методов §15. Об одном прямом методе приближенного решения периодической краевой задачи и о методе Шмидта, построенном на его

§16. О скорости сходимости методов проекционно-интератиного типа для уравнений со сглаживающими операторами, возникающих
при описании линейных колебательных систем
§17. Об одном прямом методе приближенного решения проблемы
собственных значений для вполне непрерывных операторов . . . 185 Литература

Введение
Актуальность темы. В середине прошлого столетия на стыке функционального анализа, теория приближения и вычислительной математики начала формироваться новая математическая дисциплина, которую сейчас иногда называют общей теорией оптимальных алгоритмов или теорией оптимизиции приближенных методов. Для теории приближения эта новая дисциплина явилась естественным этапом дальнейшего развития. Дело в том, что к моменту формирования указанной дисциплины теория приближения прошла три этапа своего становления. На первых двух этапах исследовалась аппроксимация с помощью фиксированного приближающего множества, а на третьем этапе центральной стала проблема выбора такого приближающего множества, которое было бы оптимальным в том или ином смысле. С началом формирования теории оптимальных алгоритмов интерес исследователей постепенно начал смещаться в сторону принциально новой для теории приближения ситуации, когда аппроксимирующие элементы различаются не по принадлежности тому или иному прибилженному множеству, а по условию сложности их построения. При этом под сложностью понимается, как правило, либо информационная сложность, измеримая объемом дискретной информации, требуемой для определения аппроксимирующего элемента, либо алгоритмическая сложность, равная минимальному числу элементарных операций, необходимых для его построения.
У истоков теории оптимальных алгоритмов стоял А.Н.Колмогоров, который в своем докладе на Международном конгрессе математиков в Стокгольме в 1962 году фактически изложил программу развития новой математической дисциплины. Ее методологией стала теория экстремальных задач аппроксимации, разработанная С.М.Никольским [34], Н.П.Корнейчуком [22, 23], В.К.Дзядыком [11], В.М.Тихомировым [55] и их последователями.
Идеи из упомянутого выше доклада А.Н.Колмогорова нашли свое раз-

где I- тождественный оператор, и обозначим через Хо — Ко*-Уо класс операторных уравнений второго рода
и - Тки = /, к Є К0, / Є И). (1-1)
Оператор 5': Хо —> Е, определяемый соотношением
5(Л,/) = (/-Т*)-1/ (1.2)
называется оператором решения для уравнений (1.1) из Хо. Если элементы к и / пробегают соответственно множества К0 и Ць то элементы в(к, /) заполняют некоторое множество 5(Хо) С Е,называемое множеством решений уравнений из Хо.
Под способом задания информации (СЗИ) об уравнениях (1.1) из класса Хо будем понимать совокупность N — (Хі,Хг) двух произвольных наборов Д,г| и АД линейных непрерывных функционалов
Х1*=(Аг(*),А2(*),...,АП1(А0), А^єХ*, * = 1,2,...,«!,
^2/=(от(/)Х2(/),...,^2(/)), і = 1>21...,П2,
где К* и У*- пространства, сопряженные к К п V соответственно. Кроме того, через сагб(Х) будем обозначать общее число линейных функционалов, принимающих участие в определение СЗИ X,то есть
сагсІ(Х) = пі + П2 = сагсІ(Хі) + сагб(Х2).
Следуя [57,с.24], под алгоритмом ір приближенного решения уравнений (1.1) мы понимаем произвольный оператор, ставящий в соответствие информационному вектору Х(&,/) = (X]/с, Х2/) в качестве приближенного решения уравнения (1.1) элемент <р(Х; &, /) Є X.
При фиксированном СЗИ X обозначим через Ф(Х)- множество всех алгоритмов, использующих в качестве информации значения компонентов информационного вектора Х(&, /). Погрешность алгоритма <р Є Ф(Х) на классе