Теоремы регулярности убывания в линейно-инвариантных семействах функций

• Автор: Ганенкова, Екатерина Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Петрозаводск
• Количество страниц: 105 с.

Содержание
Введение
1 Теоремы регулярности убывания для аналитических в единичном круге функций
1.1 Линейно-инвариантные семейства. Теоремы регулярности
1.2 Поведение производных в угловой области
1.3 Направления интенсивного убывания
1.4 Подклассы универсального линейно-инвариантного семейства
1.5 Аналог теоремы регулярности для производных высших порядков
2 Теорема регулярности убывания для аналитических в поликруге функций
2.1 Обобщение понятия линейно-инвариантного семейства. Теорема регулярности
2.2 Частные производные в угловой области
2.3 Теорема Бейджмила для остова поликруга
2.4 Мощность множества направлений интенсивного убывания
2.5 Об аппроксимации функций из линейно-инвариантных семейств
2.6 Поведение частных производных высших порядков вблизи точки остова поликруга, соответствующей направлению интенсивного убывания
2.7 Теоремы регулярности для функций Блоха
Литература

Введение
Объектом изучения данной диссертации являются линейно-инвариантные семейства аналитических функций. Семейство функций /(г) = г+ ... , аналитических и локально однолистных в единичном круге Д, называется линейно-инвариантным семейством, если вместе с функцией /(г) оно содержит также и функцию вида
для любого конформного автоморфизма ср(г) единичного круга Д. Определение таких семейств было дано в 1964 г. X. Поммеренке в работе [44], хотя свойство линейной инвариантности использовалось и ранее: так, например, Л. Биберба.х, используя линейную инвариантность класса 5 аналитических и однолистных в Д функций, получил в этом классе известные теоремы искажения и вращения (см. [29], [30]). Еще одним важным звеном в доказательстве результатов Бибербаха служила оценка модуля второго коэффициента в разложении функций класса Б в ряд Тейлора [29]:
для любой функции ф(г) Е Б, /(з) = г + + ..., справедлива точная
оценка |а2| < 2, причем равенство достигается только для функции Кёбе
С этим фактом связано введение для линейно-инвариантных семейств величины, получившей название порядка,
которая стала для таких семейств важнейшей характеристикой.
Изучение линейно-инвариантных семейств вызвало большой интерес. Оказалось, что многие известные классы конформных отображений являются линейно-инвариантными. Следовательно, появилась возможность изучать общие свойства таких классов функций. И если раньше изучение многих классов конформных отображений зачастую основывалось на свойствах, характерных для функций конкретного семейства, то с введением понятия
ЛуОО) - /Мо))
= z +
огсШ = ]- sup |/"(0)|
^ fern
линейной инвариантности стало возможным разработать универсальные методы изучения свойств классов локально однолистных функций.
В качестве примеров линейно-инвариантных семейств приведем следующие:
• Семейство LS всех аналитических и локально однолистных в А функций f(z) = z +
• Семейство S С LS однолистных в А функций; ord S = 2 [29].
• Семейство К С S выпуклых функций (функций из S, для которых /(А) — выпуклая область); ord К — 1 [15, с. 202].
• Класс Vk функций с ограниченным граничным вращением (/ 6 Т4 тогда и только тогда, когда для каждого г € (0; 1) полная вариация угла наклона касательной к образу окружности {z : z = г} не превосходит
Ьг); ord Vk = ^ [40], [41].
В [44] также было введено понятие универсального линейно-инвариантного семейства Ua, являющегося объединением линейно-инвариантных семейств порядка, не превосходящего а, и, следовательно, позволяющего изучать все такие семейства в совокупности. В [44] показано, что при а < 1 классы Ua пусты, И совпадает с классом К выпуклых функций, класс S содержится в классе U-i, но с ним не совпадает. Заметим, что для любого а > 1 семейство Ыа содержит многолистные функции (см. [44]): функция

1 , 7 >

1 + z 1 -z
является бесконечнолистной и принадлежит классу U
Л*+т
Особое вни-
мание Поммеренке уделял семействам конечного порядка, так как такие семейства являются нормальными.
Для линейно-инвариантных семейств хорошо известен класс теорем, характеризующих рост модулей функций и их производных при приближении аргумента к границе единичного круга. Такие утверждения получили название теорем регулярности роста. Самым известным таким результатом является теорема регулярности роста в классе 5 :
Теорема А (регулярности роста в 5) [31, с. 104-105], [38], [39] (см. также [17, с. 120-121], [19, с. 80-82], [23, с. 121-123]). Пусть / Є Д. Тогда
1) существуют числа 5 Є [0,1] и ір° є [0; 27г) такие, что
6 — lim

max|/(z)|
Z—Г
(1-г)

max|/'(z)|
(1 - г)

1 + г

равномерно внутри Д, то
(„) / £_+ рег Л , 2^
к'в(реів) р-+
(-2)п-1е-*("-1)в(а - 1)... (а - (п - 1))
1 - геГ*
р-УI-4 ' ч / ч ч у/
равномерно внутри Д, а значит и равномерно в круге {|ф < гд}. Следова-

^{^г. Х1-Л-*

тельно, функция —-----------—— ------------будет ограничена и отделена

от нуля в круге {г < го} при р 1—, во-первых, для любого натурального п, если сї не является натуральным числом, и, во-вторых, для всех натуральных п таких, что п < а + 1, если а — натуральное.
Поэтому для указанных п
/И(С )К{ре») )
к8П р^1~ равномерно в Кр(го). Как и в случае п— 1, из (1.12) получим
4”’(0 ^
равномерно в Д(ії, р) при К —> 1 — . Теорема 1.3 доказана.
Следствие. Пусть / Є 1Аа{&о), 0 — одно из п.и.у. функции /, которому соответствует число Хеймана 5 Є [<5о, оо). Тогда для любого натурального п, удовлетворяющего условиям (1.6), величины |/^(С)| и <51^4^(01 являются эквивалентными бесконечно малыми при |£| —>■ 1