Интегральное уравнение третьего рода с особым дифференциальным оператором главной части

• Автор: Абдурахман
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 142 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Вырожденный случай
§ 1. Некоторые вспомогательные сведения
§ 2. Интегральное уравнение третьего рода с коэффициентом,
имеющим нуль целого порядка в вырожденном случае
§ 3. Расширение исходного пространства на дельта-функцию
и ее производные
§ 4. Случаи производной порядка выше
Глава 2. Случай граничной особой точки
§ 5. Эйлеров случай
§ 6. Случай р ^ 2
§ 7. Случай уравнения порядка п
§ 8. Интегральное уравнение третьего рода с коэффициентом при старшей производной, имеющим нуль целого порядка
в граничной точке
§ 9. Интегральное уравнение третьего рода с общим
дифференциальным оператором в главной части
§ 10. Случай 7 = —1 при р —
§11. Случай нецелого показателя 0<р<
Глава 3. Случай внутренней особой точки
§ 12. Главная часть оператора А. Случай р =
§ 13. Главная часть оператора А. Случай р ^
§ 14. Случай уравнения порядка п
§ 15. Интегральное уравнение третьего рода с коэффициентом
при старшей производной, имеющим нуль целого порядка

§ 16. Случай 7 = —1 при р =
Литература

Введение
Актуальность темы. Изучению вопросов разрешимости интегральных уравнений третьего рода вида а(х)1 + К, где К — интегральный оператор, а а{х) известная функция, посвящено большое число работ (обзоры теории интегральных уравнений см. в [38, 20]). Такие уравнения часто возникают в различных прикладных задачах, причем характерной их чертой является наличие у а(х) одной или нескольких особенностей в области изменения х. Это не позволяет осуществить непосредственный переход к более изученным уравнениям второго рода. Здесь, как и в случае интегральных уравнений первого рода, приходится в каждом случае разрабатывать собственные подходы. Такой общепринятый подход, как метод нормализации, широко используемый в теории уравнений типа свертки и сингулярных интегральных уравнений (см., например, [17]—[19], [25, 26, 37, 39]), позволяет осуществлять переход от уравнений с вырожденным символом к нормальным уравнениям (другие подходы, связанные с явным построением в вольтерровской ситуации регуляризации с помощью резольвенты и дальнейшем изучении ее поведения можно найти в [38, 15]). В случае уравнений третьего рода приходится разрабатывать собственные методы. Такие методы по построению теории Нетера для интегральных уравнений третьего рода в пространствах непрерывных и обобщенных функций были разработаны в работах Г. Р. Барта [2], Г. Р. Барта и P. J1. Варнока [3], B.C. Рогожина и Т.Н. Радченко [30], B.C. Рогожина и С. Н. Раслам-бекова [31, 32], Е. П. Баран [1], Т.Н. Габбасова [9, 10], X. Г. Бжихатлова [7] и др. В них у а(х) допускалось либо конечное число нулей конечных

кратностей (а(т) = Шх-хз)н), либо счетное множество простых нулей •?=
(iа(х) = егЬх — l). В основе исследований этих работ лежала идея использования с одной стороны понятия союзного оператора и союзного пространства, с другой — понятия тейлоровской (точечной) производной. Все это позволило в традиционной постановке пространства непрерывных функ-

Поскольку операторы A: Dm —» Cg^f—1,1] и À!: P1 —C[-l, 1] оказываются союзными операторами, действующими в союзных банаховых пространствах и удовлетворяющими условию х(А) = —*с(А'), то приходим к следующей основной теореме этого пункта.
Теорема 3.3. Пусть т — р — 2. Уравнение А<р = / разрешимо в пространстве Dm тогда и только тогда, когда (/, ф) — 0 Алл любой функции ф Є Р1, такой что А'ф = 0.
В заключении этого пункта сделаем следующее замечание. До сих пор наши рассмотрения касались крайнего случая т = р — 2 при рассмотрении пространства Dm. Если теперь считать, что 0 ^ т < р — 2, то рассуждая как и выше при построении союзного оператора мы вместо (3.4) придем к т+ 1 условиям
гШ(0) = Д2>(0) - ... = ^т+1>(0) = 0. (3.6)
В таком случае естественно в качестве Р1 = Р1{т) взять сужение пространства Р1 с помощью условий (3.6). Для таких пространств Dm и Р1 = Р1(гп) легко переформулировать все теоремы 3.1-3.3 при этом х{А) = —р + (га +1), х(А') = +р — (т + 1), так что х(Л) = — >с(А') в теоремах 3
3.2, а в теореме 3.3 условие т = р — 2 заменить на условие 0 ^ т ^ р— 2.
3.3. Интегральное уравнение в случае т > р — 2. Здесь мы рассмотрим прежде всего основной случай, когда оператор А рассматривается из Dm в CqP}[—1,1] при I = т. Чтобы представить результат достаточно рассмотреть главную часть оператора А, то есть оператор L

р — 2. Что касается неоднородного уравнения, то, с учетом

представления <р(х) = <ро(х) + ^ &к^кЦх), мы имеем

Ьр = х?фo(z)+ ^ ^11^]'^{А~у+1}(ж) = f(x). (3.7)