Вращение твердого тела на нелинейно упругом инерционном стержне

• Автор: Товстик, Татьяна Петровна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 126 с. : ил.

Глава 1. Вращение твердого тела с тензором инерции общего
вида на упругой нелинейной опоре
1. Тензор поворота в описании кинематики твердого тела
2. Твердое тело на упругой нелинейной опоре
Г л а в а 2. К нелинейной теории упругих стержней
3. Основные соотношения нелинейной теории упругих стержней
4. Обратная задача об эластике Эйлера
Глава 3. Движение твердого тела на инерционном
вращающемся стержне
5. Уравнения движения стержня и граничные условия
6. Вращение тела на инерционном стержне с шарнирно опертым верхним концом
7. Вращение тела, консольно закрепленного на инерционном стержне
Глава 4. Вращение твердого тела на упругом стержне в
нелинейной постановке
8. Уравнения движения
9. Положения относительного равновесия и их устойчивость
10. Малые колебания тела на вращающемся стержне
11. Прохождение через критическую угловую скорость
в линейной и нелинейной постановке
Основные выводы
Литература
В работе решен ряд задач о движении абсолютно твердого тела с тензором инерции общего вида на нелинейно упругой опоре. В качестве упругой опоры рассматриваются сначала пружины с нелинейной жесткостью, а затем упругий прямолинейный инерционный стержень. Нелинейные эффекты опоры на стержень связаны с конечными перемещениями точек его оси. Большое внимание уделено исследованию случаев, когда один из концов стержня вращается по заданному закону. Исследованы положения равновесия системы и их устойчивость, а также малые свободные и вынужденные колебания и нелинейные движения системы.
Рассматриваемые задачи находят применение при конструировании и исследовании движений центрифуг, роторов, гироскопов, шпинделей текстильных машин. Во многих изделиях современного машиностроения важнейшими элементами являются роторные детали. Эти элементы являются источниками сильных вибраций, которые мешают работе оборудования. Систематическое исследование влияния параметров системы на возникновение этих вибраций является актуальной задачей.
Вопросы вращательного движения твердого тела красной нитью проходят через все развитие механики. Исследованием вращения твердого тела с неподвижной точкой занимались такие классики механики, как Л.Эйлер, Ж.Лагранж, С.В.Ковалевская, А.М.Ляпунов. Эти вопросы являются предметом исследований и в более позднее время. Отметим монографии и работы Ю.А.Архангельского [5], В.В.Белецкого [8], Й.Виттенбурга [14], Р.Граммеля [19], А.Ю.Ишлинского [45], Д.М.Кли-мова и С.А.Харламова [53], В.Н.Кошлякова [55],Л.Г.Лойцянского, А.И.Лурье [70, 71], К.Магнуса [74], А.П.Маркееава [76], Э.Дж.Рауса [89], В.В.Румянцева [90], А.П.Харламова [100], Ф.Л.Черноусько [102] и др. Обширная библиография по динамике твердого тела имеется в работах [22, 23, 76].
Первоначально предметом исследований было свободно вращающееся вокруг неподвижной точки тело (отметим, что и сейчас эти вопросы актуальны в применении к вращательному движению искусственных спутников Земли [8, 9]). Потребности расчета центрифуг, роторов, ги-

роскопов и других технических объектов требуют рассмотрения динамики тел при наличии упругих связей. Исследования по динамике жестких роторов на упругих опорах получили наиболее полное отражение в работах А.С.Кельзона и его сотрудников [47-50, 105]. При исследовании колебаний жесткого ротора на упругих опорах или гибком безынерционном валу в подавляющем большинстве литературных источников ограничиваются рассмотрением поперечных колебаний. Наиболее полно исследованы цилиндрические и конические прецессии. В работе И.А.Пасынковой и Хеждждо [85] описан еще один вид установившегося движения — гиперболоидальная прецессия.
В большинстве работ о движении твердого тела на упругих опорах рассматриваются малые, в основном, поперечные колебания. Исследование конечных отклонений требует преодоления больших трудностей. Твердое тело с неподвижной точкой имеет три степени свободы и его ориентацию можно задавать с помощью трех углов Эйлера (или самолетных, корабельных углов). Однако это описание обладает недостатком, связанным с неоднозначностью определения углов [4, 51]. Этот недостаток можно преодолеть, введя в рассмотрение кватернионы, предложенные У.Гамильтоном в 1843 году.
В работах П.А.Жилина [30, 139, 141, 142, 143] для описания поворотов твердого тела используется вектор конечного поворота — неподвижный вектор тензора поворота. Систематически разработаны и изложены основные свойства тензора поворота, необходимые для приложения к задаче динамики твердого тела. Получена формула, которая связывает вектор угловой скорости с производной от вектора поворота. Этот подход был использован успешно в работах П.А.Жилина и его учеников [29, 31, 33,-39, 42, 43, 58-63, 122, 123, 127,-129, 137, 140, 144-147].
В основной части настоящей работы в качестве упругой опоры рассматривается тонкий прямолинейный стержень.
Основы теории тонких упругих стержней были заложены Л. Эйлером. Будучи старейшей теорией в механике сплошных сред, теория тонких стержней остается одной из самых полезных и в теоретическом, и в практическом отношениях. При построении теории стержней Г.Кирхгоф [52, 125] высказал ряд гипотез, которые стали классическими и нашли также применение в теории пластин и оболочек. В дальнейшем теория Кирхгофа подверглась многочисленным усовершенствованиям и уточнениям (теория тонкостенных стержней [15], теория естественно закрученных стержней [24, 25], теории с учетом сдвига, тео-

Здесь поворот на малый угол нутации в можно в первом приближении представить в виде
Q_ (вг) = (1 — cos 9)i®i + cos в К + sin вг х К — К + вг х £,
где £ — единичный тензор второго ранга.
Таким образом, для полного поворота имеем
Е = Q (Фт) ■ {R + Hx К)' Q (<рЕ)
= £((¥> + Ф) z) + £(^z) • (0£ х Ж) • Q7 (фт) ■ £ (V’i) • £ (v>r)
= £(( +VO т) •
Здесь было использовано равенство, верное для любого вектора а и тензора поворота £
Q'(ßX|)-QT= (q • а) х|.
Итак, мы получили
Е=(М + 6х R)-g(ßz), (5.18)
где ß = (р + ф,
в = 0_(фт)-9і. (5.19)
То есть, за вектор 9(s,t) обозначен вращающийся вектор нутации £ (фт) ■ вг.
Векторы изгиба-кручения и угловой скорости. Теперь, имея формулу (5.18) для тензора поворота, выразим вектор деформации
изгиба-кручения Ф и вектор угловой скорости ш через величины в и
ß . Для этого вспомнить нужно формулы (3.3), (3.5) первой главы. Но прямо их использовать — слишком громоздкие выкладки получить. Воспользуемся правилом: если тензор F может быть представлен в виде композиции двух тензоров поворота £ = Rl • £«,, то
ш_ — ші Т £j • Ш2 , (5.20)
где ш і, tu 2 — угловые скорости, соответствующие тензорам поворота
El И Е2Используя это правило, находим сразу w и Ф.
w==# + (F + #xF) • ßr — в + ßr_ + 9 х у0т,