О степенях неприводимых характеров конечных групп

• Автор: Сагиров, Ильдар Ахатьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 100 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Условные обозначения
Введение
Основные результаты
Глава I. Конечные группы, имеющие ровно две степени неприводимых обыкновенных характеров
Глава II. Конечные группы, имеющие ровно две степени
монолитических характеров
Глава III. Степени неприводимых характеров 2-групп Суд-
зуки и их обобщений
Глава IV. О конечных группах, степени немономиальных
характеров которых - простые числа
Глава V. Простые группы лиева типа с почти р'—холловой
подгруппой
Глава VI. Аналог теоремы Брауэра-Фаулера для характеров
Приложение
Литература

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Пусть G - группа. Тогда:
|G « порядок группы G;
1r(G) - множество всех простых делителей порядка
группы G;
Cl (G) - множество классов сопряженных элементов
группы G;
k(G) - количество классов сопряженных элементов
группы G;
Sylp(G) - множество силовских р—подгрупп группы G;
Ф(С) - подгруппа Фраттини группы G;
Irr(G) - множество всех неприводимых характеров
группы G;
Irri(G) - множество всех нелинейных неприводимых ха-
рактеров группы G;
Irrm(G) - множество всех монолитических характеров
группы G;
Irri,TO(G) - множество всех нелинейных монолитических
характеров группы G;
Lin(G) - множество всех линейных характеров группы

cd(G) - множество степеней неприводимых характеров
группы G;
cdm(G) - множество степеней монолитических характе-
ров группы G;
Если Л, К - подгруппы группы G, то
С : Н - индекс подгруппы Н в группе 67;
Со{Н) - централизатор подгруппы Н в группе 67;
Мс(Н) - нормализатор подгруппы Н в группе 67;
[.Н, К] - взаимный коммутант подгрупп Н и К;
Н х К - прямое произведение подгрупп Н и К;
Н X К - полупрямое произведение подгрупп Н и К с
нормальной подгруппой Я;
Если Я - подгруппа группы 67, ф 1гг(Я), х е 1гг(£), то
<Р - характер группы 67, индуцированный характе-
ром ф;
1с{Ф) группа инерции характера ф в случае, когда Н
нормальна в 67;
X фс - характер х является неприводимой составляю-
щей характера фС]
ф €: хн ~ характер ф является неприводимой составляю-
щей сужения характера х на П0ДГРУППУ Н;

и Н абелева.
Теорема В. Пусть G — Н X К, где Н,К - абелевы холловы, cdTO(G) = {1 , d} и 7Г(d) = 7r(|iv I). Тогда
(i) Н — (Н П Z(G)) х Q х ... х Qs, где Qj - нормальные го-моциклические, a kli(Qi) - минимальные нормальные подгруппы G;
(u) QiK/CK(Qi) - группа Фробениуса, ядро которой равно QiCK(Qi)/CK(Qi) = Qi, а дополнение К/Сц(Ог) циклическое порядка d (1 < г < s).
Если G = Н X К, где Н,К - абелевы холловы и выполнены условия (i)-(ii), то cdm(G) = {1 ,d}.
Доказательство. Так как G = Н X К, где Н, К - абелевы холловы, то (i) выполняется ([15], Ch. I, §10, Corollary 17). Пусть cdm(G) = {l,d}. Так как прямой абелев множитель не влияет на множество степеней монолитических характеров конечной группы, то можно считать, что Н П Z(G) = 1.
Положим Qi = Qi х ... х Qi-i х Qi+1 х ... х QS1 Gt = Qt К. Для любого г группа Gi неабелева в силу того, что Qi П Z(G) = 1. Кроме того Gi = G/Qt. Так как cdm(G/Qi) С cdTO(G) = {l,d}, a Gz неабелева, то cdm(G*) = {1 , d}. Рассмотрим Gi/Cn'iQi) = Gi/Z(Gi). GjjСk(Qi) - неабелева группа, а значит, cdm{GilCK{Qi)) = {M}. Кроме того, Z(Gi/CK(Qi)) = 1 и поэтому без ограничения общности можно считать, что Z(G{) = 1. Докажем, что для любого li G Qf К П Kh = 1. Предположим, что 1 ф k £ К П Kh. Тогда существует такой элемент к £ К, что к = h~^kh. Последнее означает, что [h,^1] = кк^1, а так как G- - Qi, то к = Но тогда Qi = СдД/с) х [£Д,&] и Сдг(/с), нормальны в Gi. В силу того, что Cq.(&) ф 1, а ПДСД) -единственная минимальная нормальная подгруппа G?;, получаем CQi(k) = Qi и к £ Z(Gi) - противоречие. Значит, Gi/Cj^(Qi) -группа Фробениуса, а так как К абелева и cdrn(Gi/Cji(Ql)) = {1 , d}, то KfCK(Qi) ' циклическая группа порядка d.