Локальные поля и когерентные пучки на алгебраических кривых и поверхностях

• Автор: Осипов, Денис Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с.

Содержание
Введение
1 Локальные и глобальные конструкции прямых образов
1.1 Дифференциалы и их прямые образы
1.1.1 Непрерывные дифференциалы
1.1.2 Прямые образы
1.1.3 Адельные дифференциалы и морфизм Гизина
1.2 Прямые образы и символы
1.3 К2 - адели, когомологии К2- функторов и К2 гомоморфизм Гизина
2 Бесконечномерный грассманиан и когерентные пучки ранга 2 на
кривых
2.1 Отображение Кричевера
2.2 Детерминантное расслоение
2.3 Стабильные и нестабильные точки
3 Соответствие Кричевера и высшие размерности
3.1 Технические леммы
3.2 Конструкция и ее первоначальные свойства
3.3 Комплексы и их точность
3.4 Комбинаторные свойства и отображение Кричевера

Введение.
Настоящая работа посвящена применениям многомерных локальных полей и методов, связанных с ними, к построению и изучению локальных и глобальных конструкций, связанных с пучками 1Г-функторов и квазикогерентными пучками на алгебраических многообразиях.
Локальные поля естетственно возникают в алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел при установлении различных связей между локальными и глобальными свойствами полей алгебраических чисел, арифметических схем и алгебраических многообразий.
Первоначально примеры одномерных локальных полей возникли в прошлом веке в комплексном анализе и алгебраической теории чисел. Это поле рядов Лорана С((к)), элементы которого возникают при разложении мероморфных функций на Ри-мановой поверхности в ряд по локальному параметру к в аналитической окрестности точки, и поле р-адических чисел <3Р, возникающее как естественное пополнение поля рациональных чисел С} по неархимедову р-адическому нормированию.
Сейчас мы говорим, что 1-мерное локальное поле — это поле частных полного кольца дискретного нормирования.
Объектом, связывающим локальные и глобальные свойства алгебраических чисел послужило кольцо аделей, которое определяется как ограниченное топологическое произведение полей р-адических чисел по всем нормированиям поля рациональных чисел. Само поле рациональных чисел вкладывается диагональным образом в кольцо аделей. При помощи кольца аделей были описаны абелевы части групп Галуа полей алгебраических чисел. (См. по этому поводу [8].)
С другой стороны, прямым обобщением полей алгебраических чисел являются поля функций, возникающих из кривых над конечными полями. Вспоминая также пример рядов Лорана из римановых поверхностей, можно в более общей ситуации построить одномерное локальное поле по точке на произвольной алгебраической кривой над произвольным полем (или в еще более общей ситуации: на схемах размерности
1), как поле частных пополнения локального кольца точки этой кривой (или схемы) по максимальному идеалу. См. описание и применения этого в [19].
В последние 25 лет развитие и применение методов локальных полей происходило в двух направлениях. С одной стороны, это применения в алгебраической геометрии и теории интегрируемых систем, связанные с соответствием Кричевера-Сато-Вилсона на кривой, а с другой стороны — это появление теории многомерных локальных полей для алгебраических схем размерности больше, чем 1. Остановимся на этих темах более подробно, так как это связано с результатами данной работы.
Суть конструкции Кричевера в следующем. (См. [9], [7], [20], [36], [43].) Мы выделяем и фиксируем одну точку на проективной кривой над полем к и локальный параметр в этой точке. Тогда в локальное поле этой точки к((г)), как некоторое дискретное подкольцо, естественным образом отображаются функции на кривой, ре-

гулярные вне выделенной точки.
Более того, мы можем аналогичным образом отобразить расслоения ранга 1 на кривой с некоторыми дополнительными данными в некоторые дискретные подпространства локального поля выделенной точки. И обратно: зная подпространство-образ в к ((г)), можно однозначно восстановить исходные данные.
Более точно, пусть С — полная целая алгебраическая кривая над полем к, р — -рациональная неособая точка на этой кривой, Т — пучок без кручения ранга 1 на С (если кривая С не особа, то такой пучок всегда локально свободен), ер — три-виализация пучка Т в точке р, £р — локальный параметер в точке р. Тогда такой пятерке данных (С,р, X, ер, <р), которую мы далее будем называть квинтетом, можно канонически сопоставить подпростанство в 1-мерном локальном поле к((г)). Это — отображение Кричевера. Отметим, что это отображение сразу же обобщается на квинтеты с пучками без кручения высших рангов.
Полученное подпространство будет иметь конечномерное над полем к пересечение с подкольцом к]г] (это пересечение канонически изоморфно нулевым когомологиям пучка X) и конечную коразмерность своего образа в й;((г))/А:[[г]] ( фактор последнего кольца по образу канонически изоморфен первым когомологиям пучка X). Подпространства в к((г)) с такими условиями называются фредгольмовыми. (Отметим, что их гораздо больше, чем подпространств - образов пучков). На множестве всех фредгольмовых подпространств можно ввести структуру бесконечномерного алгебраического многообразия, обобщающее конечномерное Грассманово многообразие. Полученное многообразие называется грассманианом Сато. (См. [45], [22], [18], [7].)
Отображение Кричевера и грассманиан Сато нашли многочисленные применения в теории интегрируемых систем (решение КП-иерархии, теория солитоннных уравнений, см. [7], [20]), в алгебраической геометрии (решение проблемы Шотки, пространства модулей кривых и расслоений, неабелевы т-функции, теория геометрического соответствия Ленглендса см. [7], [23], [24]), теории псевдодифференциальных операторов (описание коммутативных подколец в кольце дифференциальных операторов с регулярными коэффициентами, см. [36], [44], [7].)
С другой стороны, в середине 70-х А. Н. Паршиным было предложено понятие многомерного локального поля, обобщающее понятие обычного локального поля ([14],[38], [28]).
те-мерным локальным полем называется полное поле дискретного нормирования, полем вычетов которого является п — 1-мерное локальное поле.
Один из типичных примеров такого поля — это поле итерированных рядов Лорана А((я1))((22)) ... ((гп)). Элементы Я1
Такие поля служат естественным обобщением локальных объектов на 1-мерных схемах на случай многомерных схем. Рассмотрим алгебраическую схему X размерности п. Пусть У0 Э ... Э Уп — флаг замкнутых подсхем на X, так что У0 = X, Уп = х — замкнутая точка на ж, У) — коразмерности 1 в У)_! (1 < * < и), х — гладкая

Ыбз) < Mh2,с) < V2{tC).
Также для символа
(hi,с h2 ç , te)
мы получаем, что если Е ф (и), Е ф С, Е ф (р,), Е ф (qj), то
(hi,с h2£ , Ьс)е
Отсюда по индуктивной гипотезе мы заключаем доказательство в этом случае.
Иначе мы можем умножить hi,с на некоторую степень и и после этого вычесть из полученного элемент te, умноженный на некоторый обратимый элемент из fc'[[w,t]], на некоторую степень и, и на некоторый элемент из fc'[[«]][£], так что результирующий элемент h,,с имеет следующие свойства:
где ( , )с7; — обычный ручной символ поля дискретного нормирования Кх,Сп И 1'х — дискретное нормирование на ветви С г в точке X.
Определение 1.45 (К2-адели) Пусть X — поверхность, и парах € С пробегает все неприводимые кривые С С X и точки х £ С, тогда
Но это есть уже случай выше. Мы доказали шаг 2 и предложение 1.44.
Ох,с — ф Ox,Ci >
К2(Ох,с) = П K2(öx,Ci)

vx( , )с = Yh v*( > )Gi
Ci Эж