Метод жидкостной аппроксимации и его применение к исследованию систем поллинга с несколькими приборами

• Автор: Ковалевский, Артем Павлович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 102 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Метод жидкостной аппроксимации
1.1 Построение стохастической жидкостной модели
1.2 Возвратность и положительная возвратность
1.2.1 Возвратность
1.2.2 Положительная возвратность
1.3 Свойство подобия жидкостных пределов
1.4 Теорема о возвратности
1.5 Теорема о положительной возвратности
1.6 Примеры применения жидкостной аппроксимации к анализу систем обслуживания
1.6.1 Одноканальная система обслуживания
1.6.2 Сеть обслуживания
1.6.3 Система обслуживания с переключениями
1.6.4 Примеры к условиям возвратности
Глава 2. Системы поллинга с несколькими приборами
2.1 Общая модель
2.2 Существование жидкостной модели
2.3 Исчерпывающая дисциплина обслуживания
2.3.1 Свойства жидкостных пределов
2.3.2 Случай двух станций
2.3.3 Циклический поллинг
2.4 Ограниченные дисциплины обслуживания
2.4.1 Свойства жидкостных пределов
2.4.2 Случай двух станций
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Изучение асимптотического поведения сложных стохастических систем массового обслу живания является одной из важных задач теории массового обслуживания. Исследуются, в частности, вопросы положительной возвратности таких систем (существования ограниченного множества, положительно возвратного для случайного процесса, который описывает состояние системы обслуживания) и их эргодичности (сходимости этого случайного процесса к предельному, соответствующему так называемому стационарному режиму), В последние годы для исследования положительной возвратности и эргодичности стохастических систем массового обслуживания с несколькими типами вызовов развит метод, получивший название метода жидкостной аппроксимации.
Ключевая идея метода состоит в следующем. Рассматривается марковский процесс {А(£), t > 0}, характеризующий динамическое состояние системы в момент времени Ь. Вводится линейное масштабирование (сжатие) по пространственной координате и времени в |А(0)| раз, и изучаются масштабированные версии процесса А', подчиненные тому условию, что |А(0)| = 1. Рассматривается семейство процессов, предельных для последовательностей масштабированных процессов в смысле слабой сходимости. Такое семейство называется жидкостной моделью, а процессы {'/>(£); Ь > 0} из этого семейства называются жидкостными пределами. Вводятся различные условия стабильности жидкостной модели, достаточные для положительной возвратности исходного процесса.
Данная работа посвящена развитию подхода, основанного на изучении стохастических жидкостных пределов, к получению условий возвратности и положительной возвратности марковского процесса, а также применению этого подхода к исследованию асимптотического поведения систем поллинга с несколькими приборами.
Системами поллинга с несколькими приборами называются открытые стохастические системы массового обслуживания, состоящие из нескольких станций (очередей), на которые поступают входные потоки вызовов, и нескольких обслуживающих приборов, каждый из которых обслуживает станции последовательно и перемещается от станции к станции в соответствии с некоторым случайным маршрутом (независимо от других приборов). Помимо стохастических предположений относительно входных потоков, маршрутов приборов и времен обслуживания вызовов, разнообразие моделей поллинга с несколькими приборами определяется заданием дисциплин обслуживания каждым при-

бором каждой очереди, в частности, максимального числа вызовов, которое разрешается обслужить прибору за один визит на станцию.
Метод жидкостной аппроксимации развит в работах [1-14] и применен к исследованию систем поллинга (с одним прибором и с несколькими одинаковыми приборами) в работах [8], [9].
В статье [1] изучается стохастическая система массового обслуживания с 2 станциями и 4 типами вызовов. Показано, что при дисциплине обслуживания специального вида естественные условия положительной возвратности не являются достаточными, тогда как при обслуживании вызовов на каждой станции в порядке поступления — являются достаточными (пример системы, для которой естественные условия положительной возвратности не являются достаточными при обслуживании вызовов на каждой станции в порядке поступления, приведен в работе [15]). Получено следующее условие эргодичности;
Пусть существует конечная константа 1 такая, что для любого жидкости ното предела ф
|у?(£)| = 0 п.п. для всех £ > Т. (1)
Тогда рассмативаемая система обслуживания эргодична.
В [2] жидкостная модель применяется для изучения детерминированного варианта сетей Джексона. Получены условия перегруженности и недогружен-ности станций в такой системе.
В [3] метод жидкостной аппроксимации последовательно применен к ряду систем обслуживания с несколькими тинами вызовов в весьма общих стохастических предположениях. Здесь жидкостные пределы понимаются как траектории слабых пределов последовательностей масштабированных процессов (что позволило исключить из рассмотрения вероятностное задание предельных процессов). Показано, что условие (і) достаточно лля положительной возвратности и (при некоторых дополнительных предположениях) эргодичности таких систем. В частности, получено новое доказательство эргодичности обобщенной сети Джексона.
В [1] получены достаточные условия для того, чтобы сети обслуживания с дисциплиной обслуживания вызовов в порядке их поступления были положительно возвратны и эргодичны при естественных условиях нагрузки.
В статье [5] для сетей обслуживания показано, что жидкостная модель стабильна тогда и только тогда, когда стабильна так называемая «незадержанная» (ипбсіауеб) жидкостная модель, что позволяет работать напрямую с
пусть <р№ = <рт" и Тл+1 = Тп + /(„, |х(Тп)|, Тп+1 = Т+1(е, /2) — допустимый момент остановки в соответствии с леммой 1.5.
Последовательность случайных величин 14 = х(7'„), п — 0
е{|к+1| | <(і-еіМ
п.н. на событии {Г > п}. Следовательно, можно показать (см., напр., [28], глава 15), что Г конечна почти наверное и, более того, для любого положительного числа и < —1о§(1 — сі) выполнено:
вирЕехр{иГ(<)} < оо.

Действительно, для любых (р и п >
Р(Г > п) = |И,|Р(Г>п)<(1-«1)-1Е{|Кп|-1(Г>п)}
< (1 - е,Г‘Е{|К| 1(Г > п)} < Е{Уп.г 1(Г > п)}
< ... < (І-сі)*"1.
Положим Вч> - ТГМ- Тогда но определению |х(0)| < 1 — Є] и.и.
Докажем теперь формулу (19).
Заметим, что
- Ёди, - Тл) < Ё // уп = и Е ІК.І цг > п).

Обозначим через Нп сигма-алгебру, порожденную случайными величинами
К>, , К-
Для любого положительного целого N имеем
Н(ЛО = Ё Ш ' КГ > п) = 1 + <ЗГ(ЛГ) + Е е{|К.,| ) - 1(Г > п),
О 1 * *
СЛЩ = Е [|К! - Е {|К| | и«-|}] 1(Г > п).

Гак как

Чп- | І(Г > п) < (1 — Еі)]Р„_і| 1(Г > п - 1) п.н.
И(Ы) < (1 + 0(/У»сГ1