Асимптотическое представление отношения правдоподобия для нерегулярных семейств распределений в многомерном случае

• Автор: Миронов, Дмитрий Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 53 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Асимптотическое представление процесса отношения правдоподобия
§1. Постановка задачи и основной результат
§2. Доказательство основного результата
Глава 2. Оценка скорости сходимости распределений нормированных оценок максимального правдоподобия
§3. Формулировка теоремы
§4. Доказательство теоремы
§5. Проверка условия АЗ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Асимптотический анализ процессов отношения правдоподобия представляет интерес не только для задач проверки статистических гипотез, где применяется критерий отношения правдоподобия, но и в связи с изучением предельного поведения оценок максимального правдоподобия. Для многих семейств распределений эти оценки являются в определенном смысле наиболее точными, и этим объясняется повышенный интерес к изучению их асимптотических свойств, когда объем наблюдений неограниченно возрастает.
На практике необходимо знать не только то, что построенная оценка - самая точная, но также и то, как ведет себя ее отклонение от истинного значения параметра. Такая информация позволяет, например, построить доверительный интервал для оцениваемого параметра. В связи с этим большую важность приобретает вопрос о существовании предельного распределения нормированных оценок максимального правдоподобия, а также, если такое распределение существует, о скорости сходимости к нему. Ниже приводится обзор результатов, полученных в рамках исследования данного вопроса. Введем предварительно необходимые обозначения.
Пусть Хх
lim sup Д / №, 6) = sup Д / (Xi, в).
6—*6п %<п i Известно, что в так называемом "регулярном"случае (подробнее см., например, книгу Боровкова A.A. [1]) оценка максимального правдоподобия 9п является асимптотически нормальной. Этот результат можно получить в качестве следствия асимптотического представления процесса отношения правдоподобия с нормирующим множителем аргумента п“1//2.

Представление имеет следующий вид:
Г7 , _ f(Xt,9 + u/n1/2) r> 1 ит т Zn(u) = 21п
где 1(0) - информация Фишера, - последовательность случайных величин, сходящаяся по распределению к нормальной случайной величине, еп - последовательность, сходящаяся почти наверное к нулю. Таким образом, в главной части этого разложения присутствует гауссовская компонента. Случайная величина п1!2(вп — в) является точкой максимума процесса Zn(u), и, в качестве таковой, сходится по распределению к точке максимума процесса, предельного для Zn(u). Точка максимума предельного процесса имеет нормальное распределение.
Особый интерес представляет случай, когда плотности f(x,9) являются разрывными. При соответствующих условиях на это семейство скорость сходимости оценки максимального правдоподобия будет иметь порядок (с точностью до медленно меняющихся множителей) не п-1/2, ап-1. Этот на первый взгляд парадоксальный факт объясняется тем, что наличие разрывов у плотности f(x, 9) дает дополнительную информацию о неизвестном параметре, и позволяет строить более точную оценку. Существенно отличается также и асимптотическое представление процесса отношения правдоподобия, который в этом случае берется с нормировкой аргумента п-1. При описании результатов, полученных для нерегулярного случая, нам потребуются дополнительные обозначения и предположения.
Мы будем считать, что плотность f(x,0) непрерывна по х — (xi

точке, что и максимум поля УПіП{и).
Лемма доказана.
Лемма 10. Справедлива следующая оценка:
РК є н?") < С7и. (4)
Доказательство. Достаточно показать, что случайная величина и*п имеет абсолютно непрерывное распределение с ограниченной плотностью. Пусть щ -произвольная точка из Rm, a U(e,uо) - є-окрестность щ. Оценим вероятность Р(< Є U(є, u0))-
Обозначим:
5(a) = {tRd:t€ [0,l]d“ у = (uD{t, 90), N{y{t, 90),в0))}.
Событие (ц* Є U(e,Uo)} содержится в событии { множество U (є, и о) содержит т поверхностей разрыва поля У(ы)}. Последнее событие совпадает с событием { т атомов У, попало в множество Uuec/(£iU0)5(u)}.
Вероятность того, что множество U(e, щ) содержит т поверхностей разрыва, не превосходит величины
Е е-"р£сГ(Р(Уі € иаЄц(£,ио)5(ц)))т

< Є Uuep(£,„o)5(u)))m.
Оценим вероятность Р(Уі Є Uug£/(e,uo)‘5'(u))- Имеем:
Р(Уі Є Uu{eibo)S(u))
<—-— [ (p + q)( sup (uD,N)~ inf (nD, N))I(t,60)dt. (5),
A Inn J ueu(£,u„) иЄЩс.ио)
[0,13е
где мы для краткости обозначили: D = D(t, в0), N = N(y(t, 9о),9о),р — p(y{t, во) До), 9 = Я(у{ї,во) А)-