Классы точек компактификаций счетных дискретных пространств

• Автор: Бастрыков, Евгений Станиславович
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 67 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
1 Краткое содержание работы
2 Предварительные результаты
ГЛАВА
1.1 Конструкция, свойства и базы расширения Белла
1.2 Замыкания счётных подмножеств N и кардинальные инварианты
расширения ВИ
1.3 Центрированные системы
ГЛАВА
2.1 С-точки и их свойства, п-точки
2.2 4-|м-точки
2.3 Замыкания счётных подмножеств пространства Белла
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Бикомпактным расширением или компактификацией топологического пространства X называется бикомпактное пространство Y, содержащее X в качестве всюду плотного подмножества.
Особое место в теории бикомпактных расширений занимают расширения дискретных пространств, и прежде всего стоун - чеховское бикомпактное расширение ßoj счётного дискретного пространства со.
Одной из главных проблем, которые изучаются в теории бикомпактных расширений является отыскание свойств расширений, позволяющих выделить различные типы его точек, что определяет степень неоднородности расширения.
Первым результатом в этом направлении для пространства ßco является теорема У.Рудина [19] о существовании, в предположении континуум-гипотезы, р-точек нароста со* = ßui со расширения ßco. Точка х называется р-гочкой пространства X, если х € Int П 0Х1 для всякого счётного семейства окрестно-

стей ТОЧКИ X.
После того, как С. Шелах [22] показал невозможность «наивного» доказательства существования р-точек в со*, начался поиск точек, близких по свойствам к р-точкам. Так, К. Кунен [14] доказал существование слабых р-точек в пространстве и/, то есть точек, не являющихся предельными ни для какого счётного подмножества со*. А. Грызлов [3] доказал существование 0-точек в со*, характеризующихся тем, что при любой нумерации точек со у 0-точки, как ультрафильтра на со, найдётся элемент плотности 0.
З.Фролик в работах [8, 9], М. Е. Рудин [20, 21], Я. ван Милл [17], К. Кунен [13] и А. Грызлов [10] изучали различные частичные порядки на множестве ßto со, ими были выделены и изучены несравнимые в различных порядках точки этого пространства.

М. Белл в работе [7] построил бикомпактное расширение счётного дискретного пространства, нарост которого несепарабелен, но обладает счётным числом Суслина. Вопрос о существовании такого расширения был поставлен Я. ван Миллом в [15].
Компактификация Белла позволила решить ряд важных вопросов теории бикомпактных расширений счётных дискретных пространств.
Я. ван Милл [16, 18] и А. Грызлов [4, 11] получили несколько новых типов точек в классе слабых р-точек, являющихся предельными для различных подмножеств ш* со счётным числом Суслина.
Поскольку расширение Белла стало важной частью теории бикомпактных расширений, возникла необходимость в более детальном его изучении.
Компактификация ВМ была построена М. Беллом как пространство Стоуна некоторой булевой алгебры, состоящей из подмножеств частично упорядоченного множества N.
Свойства расширения ВМ, доказанные М. Беллом, являются следствием существования базы пространства NN. представляющей собой объединением счётного числа 2-сцепленных семейств.
Первой задачей, рассматриваемой в работе, является построение базы пространства ВМ, которая и сама, и семейство дополнений до её элементов, являются счётным объединением п-сцепленных семейств. Такая база объединяет свойства компактификации В N. полученные М. Беллом в [7] и А. Грызловым в [4].
Основной проблемой, как и в случае других бикомпактных расширений, является поиск различных типов точек компактификации В N и изучение свойств этих точек.
В связи с этим возникли следующие вопросы:
Что из себя представляет замыкания различных счётных подмножеств А, в частности цепей и антицепей?

ГЛАВА
Во второй главе выделяются три класса точек нароста пространства Белла на основании центрированных систем определённого вида; описываются их свойства, а также рассматриваются свойства замыканий счётных подмножеств нароста, состоящих из точек различных классов.
В первом параграфе описываются Сточки (теорема 2.1) как ультрафильтры в подсемействе булевой алгебры В, порождённом семейством Мх = { С Сж : 7г Є Т }. Важным свойством этих точек является то, что множество Сточек есть в точности множество пределов цепей из N (теорема 2.2, опубликованная в [24]). Схожим образом определяются и-точки нароста ВМ N (теорема 2.3). Результаты параграфа опубликованы в [25].
Во втором параграфе вводится понятие [м-точек (теорема 2.6). Конструкция этих точек схожа с Сточками, но, если Сточки — эго пределы цепей, то 4|М-точки есть не что иное, как точки замыканий строгих антицепей (теорема 2.7). Также в параграфе показывается, что все три выделенных класса не пересекаются и в ВМ Аг существуют точки отличные от точек описываемых этими классами (теорема 2.10 и следствие 2.2). Опубликовано в [26, 28].
Третий параграф содержит ответы на два важных вопроса. Теорема 2.13 показывает, что замыкание любого счётного дискретного множества, состоящего из и-точек, гомеоморфно рш. Следствие 2.6 теоремы 2.14 показывает, что из любого множества Сточек можно выделить подмножество, замыкание которого гомеоморфно 8ш. Пример 2.1 показывает, что в наросте ВВ N есть сходящаяся последовательность. Опубликовано в [26, 27].