Бесконечно малые изгибания склеенных поверхностей

• Автор: Трехос Мартинес Ольман
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 64 с.

Оглавление
Введение
Глава 1 Предварительные результаты
1. Бивекторы
1.1. Скалярное произведение бивекторов
1.2. Внутреннее произведение бивектора на вектор
1.3. Бивекторное произведение бивекторов
1.4. Смешанное произведение бивекторов
2. Сведения из теории поверхностей
2.1. Обобщенный внешний дифференциал
2.2. Регулярные поверхности класса С
2.3. Поверхности с коническими точками
2.4. Определение склеенной поверхности
3. Бесконечно малые изгибания
3.1. Бесконечно малые изгибания регулярных многомерных поверхностей
3.2. Бесконечно малые изгибания двумерных регулярных
поверхностей в Ег
3.3. Бесконечно малые изгибания склеенных поверхностей.
3.4. Поле вращений на регулярных участках ребер
3.5. Свойства поверхности в окрестности конической точки
Глава 2 Признак жесткости кусочно выпуклой поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
1. А-звездные поверхности
1.1. Звездные поверхности
1.2. а-звездные поверхности
1.3. А-звездные поверхности
1.4. Примеры А-звездных поверхностей
2. Вывод интегральной формулы
2.1. Векторы 0^ и Ом

2.2. Вспомогательные интегральные формулы
2.3. Основная интегральная формула
3. О жесткости А-звездной поверхности
3.1. Формулировка основных результатов
3.2. Доказательство теорем 2.3.1 и 2.3.
Глава 3 Бесконечно малые изгибания многомерных склеенных поверхностей
1. Жесткость многомерной поверхности, склеенной из жестких поверхностей
1.1. Точка уплощения и типовое число многомерной поверхности
1.2. Жесткость поверхности, склеенной из жестких поверхностей
2. Условия сопряжения для многомерных склеенных поверхностей.
2.1. Вывод условий сопряжения
2.2. Риманово произведение поверхностей
2.3. Теорема о жесткости риманова произведения склеенных поверхностей
Литература
Введение
Одной из интересных и трудных задач геометрии “в целом” является исследование бесконечно малых изгибаний поверхности, склеенной из гладких кусков. Первый результат в этом направлении был получен Б. В. Боярским и И. Н. Векуа [3] в 1958 г. Ими была доказана жесткость овалоида, склеенного из конечного числа регулярных кусков класса С3. В 1959 г. Б. В. Боярским [2] результат статьи [3] был распространен на случай замкнутой поверхности, внутренне склеенной из регулярных кусков выпуклых поверхностей класса Съ при условии, что она является звездной относительно некоторой внутренней точки. Такая поверхность может быть получена отсечением от овалоида “шапочек”, заклеиванием образовавшихся “дыр” плоскостями и “вдавливанием” плоских частей внутрь овалоида. В теореме Б. В. Боярского, наряду с требованием-звездности поверхности, присутствует одно условие на линиях склеивания, резко ограничивающее класс допустимых поверхностей. Геометрический смысл этого условия заключается в достаточной малости описанных вдавливаний. В этой же работе Б. В. Боярским высказана гипотеза о несущественности требования “малости вдавливаний”. В связи с этим, представляется актуальной задача исследования бесконечно малых изгибаний поверхностей с большими “вдавливаниями”.
В последние годы все больше внимания геометров уделяется бесконечно малым изгибаниям многомерных поверхностей. Эта теория представляет интерес как для “чистой” математики, так и для механики. Например, теория бесконечно малых деформаций связей механической системы из конечного числа материальных точек с сохранением ее формы кинетической энергии сводится к теории бесконечно малых изгибаний многомерных поверхностей. Бесконечно малые изгибания п-мерных поверхностей в т-мерном евклидовом пространстве рассматривались в работах Н. Н. Яненко [28] -[30], П. Е. Маркова

Глава 2. §2. Интегральные формулы.
1.3.4, 1.3.5 и 1.3.6, для произвольного є Є (0,Єо) обозначим через 1Е линию пересечения касательного конуса § к поверхности Б в точке М со сферой радиуса є с центром в точке М, через 1Е — ее прообраз на поверхности Б при ортогональном проектировании на Б. Будем считать, что при движении нормали к поверхности вдоль 1е точка М находится справа. Кривая Іє в координатах х,у, определенных леммой 1.3.5, задается уравнением у = є, 0 ^ х ^ Ь. Будем обозначать через т разбиение отрезка [О, Ь] на п частей точками Хо = 0 < ж і < • • • < хп = Ь. Положим
Введем в рассмотрение зависящий от разбиения и є вектор Сім-, пола-
2.2. Вспомогательные интегральные формулы.
Рассмотрим замкнутую поверхность Б в Е3, удовлетворяющую следующим условиям:
1. Поверхность Б состоит из конечного числа кусков выпуклых поверхностей класса С2, каждый из которых может содержать лишь конечное число конических точек. Эти куски мы будем называть гранями.
2. Каждая грань ограничена конечным числом регулярных дуг класса С2. Эти дуги мы называем ребрами. Точки пересечения ребер мы называем вершинами. Будем говорить, что ребро 7 образовано гранями 5+ и 5“, если оно лежит как на 5+, так и на Б~. Ребра поверхности 5 будем классифицировать следующим образом. Ребро 7, образованное гранями и Б~, будем называть ребром выпуклого склеивания, если поверхность Б+ и Б~ выпукла, и ребром невыпуклого склеивания в противном случае. Ребро невыпуклого склеивания будем называть ребром внутреннего склеивания, если в каждой его точке существует опорная плоскость к поверхности Б+ и Б~.
3. Каждое ребро поверхности Б является либо ребром выпуклого склеивания либо ребром внутреннего склеивания. Если кривизна реб-
р(хі, є) Ахі
■і —Хі-Хі-!, у = шахАаА; =
Рі — р{Хі), і — 1,... ,п.

71—1 П
2=1 £=*+