О корректной разрешимости некоторых задач для эволюционных уравнений в обобщенных пространствах Степанова

• Автор: Горлов, Владимир Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 94 с.

Оглавление
Введение
1 Полугруппы операторов и корректная разрешимость
1.1 Вектор-функции и некоторые их свойства
1.2 Оператор-функции
1.3 Полугруппы класса Со
1.4 Производящий оператор полугруппы класса Со
1.5 Аналитические полугруппы
1.6 Уравнения первого порядка
1.6.1 Задача Коши
1.6.2 Равномерно корректная задача Коши
1.6.3 Ослабленная задача Коши
1.6.4 Возмущенное уравнение
2 Корректная разрешимость некоторых нестационарных задач в функциональных пространствах с надэкспоненциальпо растущими и подэкспоненциальпо убывающими весами
2.1 Надэкспоненциально растущие и подэкспоненциально убывающие классы весовых функций
2.2 Интегралы дробного порядка и весовые функции

2.3 Операторы дробного интегрирования в пространствах Степанова с надэкспоненциально растущими и подэкспоненциально убывающими весами
2.4 Корректная разрешимость некоторых
нестационарных задач
3 Корректная разрешимость задачи Коши в анизотропных пространствах Степанова
3.1 Анизотропные пространства Степанова
3.1.1 Эквивалентные нормировки
в пространствах
3.1.2 Двойственность пространств 52 ~1 и Ар(м«)
3.2 Анизотропные пространства Степанова
класса 52у(М”)
3.3 Корректность задачи Коши в анизотропных пространствах Степанова
Список литературы

Введение
Понятие корректной постановки задач математической физики было введено Ж. Адам аром в связи с желанием выяснить, какие типы граничных условий наиболее естественны для различных типов дифференциальных уравнений.
Пусть Р и и - метрические пространства с соответствующими метриками рр и ри. Согласно Адамару, задача определения решения и £ II уравнения
Аи = /, (1)
где / е Р задано, называется корректно поставленной на паре метрических пространств (Р, II) , если выполняются условия:
1) для всякого / 6 Р существует и £ и решение уравнения (1);
2) решение определяется однозначно;
3) задача устойчива на пространствах (Р, и), если для любого е > О можно указать такое й(е) > 0. что из неравенства р(/ь/г) < <(б) следует ри(щ,щ) < б-
Задачи, не удовлетворяющие перечисленным требованиям, называются некорректно поставленными.
Следует отметить, что определение некорректно поставленной задачи относится к данной паре метрических пространств (Р, [/), так как в других метриках та же задача может быть корректно поставленной. Вообще говоря, подходящим выбором метрики можно формально добиться непрерывности оператора А~1, существование которого обеспечивают условия 1) и 2). Так, в случае линейного взаимнооднозначного соответствия оператора А и нормированных пространств II и Р устойчивость

1.6.1 Задача Коши
Рассмотрим однородное уравнение с постоянным оператором
Определение 1.6.1.1 Решением уравнения (1.6.1.1) на отрезке [К,К] £ J называется функция ж(£), удовлетворяющая условиям:
1) значение функции ж(£) принадлежит области определения Б (А) оператора А при всех £ € [£о,£1];
2) в каждой точке £ отрезка [£о, £1] существует сильная производная ж'(£) функции ж(£);
3) удовлетворяет уравнению (1.6.1.1) при всех £ 6 [£о,£х]-Очевидно, что решение является непрерывной на [£о,£].] функцией. Под задачей Коши на отрезке [£о,£х] понимают задачу о нахождении
решения уравнения (1.6.1.1) на (ФьИ], удовлетворяющего начальному условию
Определение 1.6.1.2 Задача Коши поставлена корректно на отрезке [£0,£і], если:
а) при любом х0 Є Б (А) существует ее единственное решение;
б) это решение непрерывно зависит от начальных данных в том смысле, что из ||жп(£о)|| —> 0(жп(£о) Є О(А)) для соответствующих решений жп(£о) следует ||жп(£)|| —) Опри п —> оо и каждом £ Є [£о,£і]-
В силу постоянства оператора А из корректности задачи Коши на каком-либо отрезке [£о, £ц] следует ее корректность на всей полуоси [£о, сю).
В этом параграфе мы будем считать £о = 0. Пусть £7(£) - оператор, ставящий в соответствие элементу хо Є О {А) значение решения ж(£) задачи Коши в момент времени £ > 0.
ж(£0) = х0 Є Б (А).
(1.6.1.2)