Некоторые обратные задачи для нестандартных уравнений

• Автор: Пашаев, Ризван Теймур оглы
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 166 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Обратная задача рассеяния для дробно-линейного
пучка дифференциальных операторов Штурма-Лиувил-ля.
§ I. Прямая задача рассеяния
§ 2. Обратная задача рассеяния
ГЛАВА II. Обратная задача теории рассеяния для системы
уравнений Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами
§ I. Специальные решения и матрица рассеяния
§ 2. Спектр и разложение по собственным функциям
§ 3. Вывод основных интегральных уравнений
§ 4. Теоремы о единственности
ГЛАВА Ш. Интегральная геометрия и некоторые обратные
задачи.
§ I. Связь между обратными задачами и интегральной
геометрией
§ 2. Некоторые применения интегральной геометрии
в обратных задачах для дифференциальных уравнений
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Обратными задачами по отношению к дифференциальным операторам называются задачи, в которых по каким-либо набору данных нужно восстановить свойства исходного оператора или весь оператор. Такими данными могут быть спектры, спектральная функция, данные рассеяния, некоторые информаций о решениях уравнения связанного с дифференциальным оператором и др. Обратная задача называется П -мерной, если хотя бы одна из восстанавливаемых функций зависит от tb переменных.
В настоящее время теория обратных задач является одним из интенсивно развивающихся разделов математики. Большим стимулом исследования обратных задач является их чрезвычайно высокая прикладная важность. Такие задачи связаны с самыми разнообразными прикладными проблемами: интерпретацией показаний многих физических приборов, геофизических, геологических, астрономических наблюдений, оптимизацией управления и планирования, синтезом автоматических систем и многими проблемами квантовой механики и математической физики.
Значение обратных задач значительно возросло в последнее время после открытия возможности их использования для решения некоторых важных нелинейных эволюционных уравнений (ем.[4],[{05] )
Эти приложения сделали исследование различных вариантов обратных задач актуальным направлением функционального анализа, математической физики и дифференциальных уравнений.
Широкую известность получила одномерная обратная задача Штурма-Лиувилля, связанная с обыкновенным дифференциальным one-ратором L ч ♦ впервые обратная задача спектраль-
ного анализа для этого оператора была поставлена и решена в одном частном случае в работеІІОІ] , В простейшей постановке задача заключается в том чтобы восстановить оператор, зная его спектр. Однако как показано в работе[Ш] (см. также[1О0]), в обшем случае знание одного спектра недостаточно для определения оператора. В этой же работе Борг показывает, что два спектра оператора Штурма-Лиувилля (при различных граничных условиях) однозначно его определяют.
Впервые В.А.Марченко применял к исследованию обратных задач так называемые операторы преобразования. В работеб1-/! (см.также Г(£>53) В.А.Марченко доказал, что спектральная функция однозначно определяет оператор Штурма-Лиувилля.
В дальнейшем, в ряде работ М.Г.Крейн № -С 41] разработал эффективный метод восстановления классического оператора Штурма-Лиувилля по двум его спектрам. Процедура явного построения потенциала по спектральной функции была получена И.М.Гельфандон
и Б.М.Левитаном в работе С #1
Однако полного решения обратной задачи по двум спектрам в вышеуказанных работах не было дано. Полное решение этой задачи дано в работе М.Г.Гасымова и Б.М.Левитана сап (см. также СбоЗ, см! .газ ). Отметим, что в настоящее время также полностью исследованы обратные задачи спектрального анализа для случая регулярной задачи Штурма-Лиувилля с неразделенными самосопряженными граничными условиями (см.СЬМ) ,[.(4 3 , £&&}).
Одним из направлений в теории обратных задач является обратная задача теории рассеяния, которая связана с задачами квантовой механики. В квантовой механике рассеяние частиц потенциальным полем возникает вопрос о том, можно ли по асимптотике волновых функций на бесконечности восстановить потенциал поля и,если

Поэтому , в силу (1.1.5)
й«. к 1& = - 21%Т Ф’УЫ

- Кв5 К I МъЪЮУ&сИ
К --'№; 0 *
* *>

ц [, ' Л / щ) Ь) ь г»
рЩШоЛ о у = ШГдг,1)|?/х +р$1/&йу)1*) Няк/)
00 ОО
УУлурУН"*- гп[хЛ

0 (1.1.18)
Нам остается еше вычислить ОО «б
- 5 I[9(х4,к+1о)-9(хЛ,к~1о)]уфсИ
2Я>С -с?о #

Из формулы (1.1.1?) и равенства $(ъ4,к+о) =6(эсЛ,к-о)
имеем