Исследование фазовых пространств некоторых задач гидродинамики

• Автор: Якупов, Максут Масновиевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 83 с.

Содержание
Обозначения и соглашения
Введение
1 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
1.1 Относительно р-секториальные и относительно а
ограниченные операторы
1.2 Аналитические полугруппы операторов с ядрами
1.3 Банаховы многообразия и векторные поля
1.4 Интерполяционные пространства и задача Коши
1.5 Функциональные пространства
и дифференциальные операторы
2 ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ДИНАМИКА ВЯЗКОУПРУГОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
2.1 Постановка задачи
2.2 Относительная сг-ограниченность
дифференциальных операторов
2.3 Квазистационарные траектории
2.4 Морфология фазового пространства
3 ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНАЯ КОНВЕКЦИЯ ВЯЗКОУПРУГОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
3.1 Постановка задачи
3.2 Задача Коши для сингулярного уравнения
3.3 Морфология фазового пространства
Список литературы

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОГЛАШЕНИЯ
1. Множества, как правило обозначаются заглавными буквами готического алфавита. Исключение составляют множества с уже устоявшимися названиями, например:
N — множество натуральных чисел;
М — множество действительных чисел;
С — множество комплексных чисел;
LP(Q) — пространства Лебега;
Wp(£l) — пространства Соболева и т.д.
Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского или, в особых случаях, греческого алфавитов. Например,
span{i,<2
обозначает линейную оболочку векторов (р,
2. Множества отображений множеств (т.е. множества операторов) обозночаются рукописными заглавными буквами латинского алфавита, например:
C{U]T) — множество линейных непрерывных операторов, определенных на пространстве U и действующих в пространство
Cl(U; Т) — множество линейных замкнутых операторов, плотно определенных в пространстве U и действующих в пространство Т;
Cinc'{U: Т) — множество операторов, имеющих непрерывные производные Фреше любого порядка, определенных на Ы и действующих в Т Отметим, что вместо C(U;U), Cl(U;U) и C°°(U]U) ради краткости будем писать соответственно С(Ы), С1{Ы) и C°°(U). Элементы множеств операторов мы будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита. Кроме того, символами I и О мы будем обозначать соответственно ’’единичный” и ’’нулевой” one-
раторы, области определения которых ясны из контекста.
dom А — область определения оператора A. im А — образ оператора А.
3. Все рассуждения проводятся в вещественных банаховых пространствах, однако при рассмотрении ’’спектральных” вопросов вводится их естественная комплексификация. Все контуры ориентированы движением ’’против часовой стрелки” и ограничивают область, лежащую ’’слева” при таком движении.

для уравнения
Aii = Bv (1.4.2)
определенного в (1.2.4). Решение v — v(t), t G R+ уравнения (1.4.2)
называется решением задачи (1.4.1), (1.4.2), если lim v(t) - vq.
Определение 1.4.1 Замкнутое в норме пространства V множество V называется фазовым пространством уравнения (1.4.2), если
(i) любое решение v = v(t) уравнения (1.4.2) лежит в V, т.е. v(t) eVVte R+;
(ii) при любом 'Vq G V существует единственное решение задачи (1.4.1), (1.4.2).
Теорема 1.4.1 Пусть оператор М (Ь,р)-секториален. Тогда фазовое пространство уравнения (1.2.2) (уравнения (1.2.3)) совпадает с образом разрешающей полугруппы (1.2.5) (полугруппы (1.2.6))
Рассмотрим теперь задачу Коши
и(0) = щ (1.4.3)
для неоднородного операторного уравнения
Lù = Mu + f, (1-4-4)
где / : [0, /о] —> F - некоторая вектор-функция, которая будет в дальнейшем определена, а операторы L G С{1Т, Р), М G Cl(U: Р). Пусть оператор М слабо ( L, р)-радиалсн и имеют место расщепления U = U0 0 U1, Р = Р° ® Р1. Тогда в силу теоремы 1.1.3 существуют проекторы Р G C(U) и Q G С{Р) такие, что задача (1.4.3), (1-4.4) расщепится на две независимые задачи
L0Ù° = М0и° + /°, и°(0) = «8, (1.4.5)