Граничные задачи для уравнения Кортевега - де Фриза и его обобщений

• Автор: Фаминский, Андрей Вадимович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 333 с.

Целью настоящей работы является изучение вопросов нелокальной разрешимости и корректности в различных функциональных пространствах граничных задач для уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ) и его обобщений. Уравнение КдФ
Щ -|- И-ххх У У 'МУ'х — ^ (ОУ )
(и = и(1, х), х 6 М, а - вещественная константа) является одним из основных уравнений, моделирующих нелинейные волновые процессы в средах с дисперсией. Впервые оно было выведено Кортевегом и де Фризом (см. [1]) для описания распространения одномерных длинных волн на поверхности мелкой воды. Это уравнение применяется также при исследовании волн в плазме, в газожидкостных смесях, продольных волн в упругих стержнях и т.д. (см., например, [2],[3]).
Интенсивное изучение уравнения КдФ началось после появления статьи [14], в которой была установлена связь между решениями этого уравнения и свойствами спектральной задачи теории рассеяния для оператора Штурма - Лиувилля. Развитый на основе этого результата метод, названный методом обратной задачи рассеяния, позволил строить решения задачи Коши для уравнения КдФ в терминах решения прямой и обратной задач рассеяния для соответствующего оператора Штурма - Лиувилля. Подробное изложение метода обратной задачи, применимого и к некоторым другим уравнениям математической физики, содержится, например, в в книгах |15]-[17],
Изучение нелинейных волновых процессов в диспергирующих средах приводит и к другим уравнениям, являющимися обобщениями уравнения

КдФ. Например, уравнение с более общим видом нелинейного слагаемого
Щ "Ь иХХх 4~ ciих -р х О (О--)
возникает в теории внутренних волн в жидкости (см., например, [4], [о]). Примером уравнения типа (0.2) является модифицированное уравнение Кортевега - де Фриза (мКдФ)
V,i 4“ V>xxx Ф (LUx i и — 0. (0.3)
Отметим, что метод обратной задачи, использующиий конкретную алгебраическую структуру рассматриваемого уравнения, применим к уравнениям КдФ и мКдФ, но не к общему уравнению типа (0.2). В настоящей работе метод обратной задачи не используется.
Другой подход к построению нелокальной теории задачи Коши для уравнения КдФ или его обобщения типа (0.2) состоит в использовании законов сохранения или их аналогов. Известно, что если u(t,x) - достаточно гладкое и убывающее к нулю при |х| —> оо вместе со своими производными решение уравнения (0.2), то, например,
/ и2 dx = const, / ( и2х — с / д(в) d9 ] dx — const. (0.4)
т J r J о J
Если на функцию g наложить условия ограничения роста
д(и) < с|д|й, 0 < 6 < 4, (0.5)
то нри начальном условии
д(0, х) = щ(х), х £ М, (0.6)
в случае до € Нт(Ж) для любого натурального т, на основе
(0.4) установлена разрешимость задачи Коши (0.2),(0.6) в пространстве
1^(0, Г; Н'п(Щ) (здесь и далее Т обозначает любое положительное число). а при тп > 2 - единственность решения в данном пространстве (см., например. [18]—[21]).
Дальнейший прогресс в изучении задачи Коши для уравнения КдФ и его обобщений связан с обнаружением эффекта локального сглаживания решений. В работах [22] и [23] было установлено, что для решения задачи Коши для уравнения КдФ справедлива оценка
рТ Л 771+
о(их;Т) = вир / и2хс1х(И < с(Т,\щ\Ь2{щ), (0.7)
т£2 ДО Зт
что позволило установить при щ £ 1/2(К) нелокальную разрешимость задачи (0.2),(0.6) при выполнении условия (0.5) в пространстве функций {и(йд') : и £ Д13О(0,Г; Д->(Е)), о(;ихТ) < оо}. В основе эффекта локального сглаживания лежат свойства линейного дифференциального оператора Д+ . Действительно, если умножить (0.2) на 2ир(х), где р - некоторая
гладкая положительная неубывающая функция, и проинтегрировать по Е, то нетрудно получить равенство
I и2рс1х + 3 / и2р' йх — [ и2р'" (1х —
&к к х к
-а I и2 р <1х — 2 [ Р I д'(6)6 (19 ж дк до
(заметим, что при р = 1 из данного равенства следует первый из законов сохранения (0.4)). Если лее р' > 0 при т < х < т + 1 для целого т, то при выполнении условия (0.5) из (0.8) можно получить неравенство (0.7). В этих же статьях были установлены результаты о нелокальной корректности задачи (0.1),(0.6) в весовых пространствах с весами растущими при х —> +со, а именно, в [23] - экспоненциальным образом, а в [22] - степенным образом. Например, в статье [22] было

^ <1х = 0 (0.8)
где 7(//;/) определяется так же как 7(^5 Е+) в формуле (0.49), только с естественной заменой М.+ на I.
Приведём результат о существовании и единственностии нелокальных обобщённых решений задачи (0.68)—(0.70), являющийся следствием Теоремы 11.1 (существование) и Теоремы 11.2 (единственность и непрерывная зависимость от данных задачи).
Теорема 0.9. Пусть для оператора выполнено условие (0.72). Предположим, что функции д^и) £ С (М) и для некоторой константы с > О и любого 1 < < п справедливо неравенство
|д/(и) - д'з(0)| < счь* Уи £ Е, (0.7-3)

0 < Ъ} < 2/п. (0.74)
Предположим, что щ £ щ £ Ге(0,Т), / £ 1ц(0,Т; 1,2,+р) для
некоторых Т > 0 , (3 > 0 и г > 0 . Тогда существует обобщённое решение
«(#, я) задачи (0.68)-(0.70) из пространства Х+р. Если для любого )
то решение в классе Хф+р единственно.
Заметим, что существование обобщённых решений доказано при более слабых, чем (0.74) ограничениях на рост функций gj .
В главе 4 изучаются вопросы нелокальной корректности задачи Коши для обобщённого уравнения Захарова - Кузнецова в случае двух пространственных переменных
Щ Т ^ххх Т иХуу + (р(д)) = (0. I 6)