Мультипликативные неравенства для максимальных функций, измеряющих гладкость

• Автор: Лохару, Евгений Эдуардович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 73 с.

Оглавление
Введение
1 Общие сведения
1.1 Максимальные функции, измеряющие гладкость: определение и свойства
1.2 Редукционная теорема
2 Неравенство Гальярдо—Ниренберга для максимальных функций, измеряющих гладкость
2.1 Формулировка теоремы и следствия
2.2 Основная лемма
2.3 Вспомогательные леммы
2.4 Доказательство теоремы
3 Теоремы вложения
3.1 Одно мультипликативное неравенство
3.2 Теорема вложения
3.3 Следствия
3.4 Доказательство теоремы
4 Мультипликативные неравенства для максимальных функций му и М{р
4.1 Формулировки основных результатов и следствий
4.2 Доказательство теорем 4.1.1 и
4.3 Доказательство теоремы
5 Контрпримеры
5.1 Случай п=1ив
5.2 Случай п = 1 и а >
5.3 Общий случай п > 1 и в >
Литература

Введение
Мультипликативные интерполяционные неравенства для производных широко известны в анализе и его приложениях к различным задачам математической физики. Речь здесь идет о неравенствах, позволяющих оценивать норму функции или ее производной выражением, в котором участвуют норма самой функции и норма старшей производной. Классический пример неравенства такого рода — знаменитое неравенство Ландау-Колмогорова:
I!/(S)IU»(Z) Это неравенство, верное для всех функций / из класса С® (/), для к = 2, где I = R или I = R+, было получено в 1913 году Эдмундом Ландау [La], Им также были установлены оптимальные константы — /2 и 2 соответственно. В 1939 году Колмогоров (см. [Kol]) доказал точный вариант неравенства (1) для всех значений параметров к и I (1 < I < к), когда I = R. Другое, не менее известное, неравенство Гальярдо-Ниренберга позволяет оценивать уже не равномерную норму, как в случае неравенства Ландау-Колмогорова, а средние от производных (их лебеговы нормы). Оно выглядит так:
I|VS/[|W < (2)
где 0 < s < к, А = (1 — |)i + 1 < r,p < oo. Последние неравенство
предполагает, что / 6 WkПТ/, где Wk — однородное пространство Соболева. Это неравенство было независимо получено в 19-59 году Гальярдо [Gj и Ниренбергом [N], Позднее было опубликовано много работ, содержащих различные обобщения неравенства (2) и его аналоги. Прежде чем перейти к обзору соответствующих результатов, стоит сказать несколько слов о поточечных мультипликативных неравенствах.
Возвращаясь к неравенству Гальярдо-Ниренберга, отметим, что в явном виде его поточечный аналог уже не будет иметь места. Имеется в виду следующее неравенство:
Vsf(x) Для того, чтобы убедиться в том (для примера, когда к = 2), что это неравенство оказывается несостоятельным, достаточно рассмотреть любую финитную и гладкую функцию, которая линейна на некотором отрезке I, а ее производная обращается на / в ноль. Для такой функции

Введение

правая часть неравенства (3) обратится в ноль на всем отрезке, в то время как левая часть будет отлична от нуля. В связи с этим возникает вопрос: можно ли все же ожидать найти какое-то поточечное неравенство, включающее в себя классическое неравенство (2)? Оказывается, ответ на этот вопрос положительный. Здесь стоит вспомнить о другом объекте — сингулярных интегральных операторах Кальдерона-Зигмунда. Такие операторы ограничены в 1Р, 1 < р < оо, однако поточечной оценки вида
Т}{х) < С/(х) (4)
нет, кроме вырожденных случаев. Однако, можно получить поточечное неравенство (см., например, [ОК]), если перейти к максимальным функциям:
(Т/)#(х) < С'(М|/|р)р(ж), 1<р<оо. (5)
Здесь М — максимальный оператор Харди-Литтлвуда:
М/(х) = зир-- / |/|, (6)
ЯЭХ |У| JQ
а через р мы обозначаем “шарп” функцию Феффермана-Стейна
Р(х) =вир- [ |/ — /<э|, (7)
<}Эх |У|
где /ф — среднее значение функции / по кубу // В этих определениях супремум берется по всем кубам <5, содержащим точку х £ Кп. Здесь и далее мы будем рассматривать только те кубы, у которых стороны параллельны осям координат.
Поточечное неравенство (5) (которое само по себе не очень трудно) сводит оценки сингулярных интегральных операторов на идеальных пространствах к оценкам максимальных функций. Эти соображения в свое время применены к выводу ограниченности сингулярных операторов в пространствах Ьг(ш), где 1 < г < оо, а вес ш удовлетворяет известному условию Макенхаупта Аг (см. [СИ]).
Теперь обратимся к неравенству (2). По-видимому, стоит ожидать и здесь наличия оценок похожих на (5), в которых будут фигурировать некоторые максимальные операторы.
Действительно, в 1994 году в своей работе [К] Агнешка Каламайска получила подобное неравенство:
М(У7)(х) < С(М(/ - Р)(х))1-Цм(Ъкр(х)р. (8)
Здесь 0 < в < к — целые неотрицательные числа, а Р — некоторый полином степени не более к (он зависит от функции /). Последнее неравенство верно для всех функций / (константа С от выбора функции не
§2. Неравенство Гальярдо -Ниренберга

Для оценки используем последнее неравенство из доказательства леммы 2.2.1:
мь3-м1К1п<с

№ 15 Кг |;
+ СЫМ{р/.

По лемме 2.3.1,

И = *
Од1 Од
Ш* Кг

<С |ГГРПх) - 1УР$№ +Стшу.
ц=в
Для оценки выражения |£)''Р/(Ж) - прибавим и вычтем
Сц/№(х). Так как кубы <21 и К имеют общий центр в точке х, то по лемме
- ЕГР%1Пх) I <
< 11ГР%/(х) - Сх) + С„/М(х) - ГГР%1/{х) <
<стм{р/(х)+сым1Р/.
Тогда
mIqJ - мл < стмЩх) +сыму.
Таким образом,
(1 - СР)± < МД1 - ми < СШМЩх) +СЫМ1Р/.
Мы знаем, что М|р/(х) < /ЗА, |<2г| < 4'1|<3|, а тогда
(1 - С"13)± < СММЩх). (2.18)
Оценим величину |<5|- В силу того, что М5ьр д/ > а, получим