Приближение функций полиномами и всплесками

• Автор: Скопина, Мария Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 269 с.

Введение.
Обозначения.

1 Линейные метоДмировирядсй’Ь. ß
1.1 Обобщенные точки Л7*б'ега, .7 . ГЫ'о>>А//.
1.2 Суммируемость рядов Фуръе'!НДбщёш1рх'лб1бговм'х множествах.
1.3 Рост частичных сумм ряда Фурье
1.4 Константы Лебега
1.5 Принцип локализации
1.6 Суммируемость двойных рядов Фурье в индивидуальной точке.
1.7 Квадратные линейные средние с гиперболическими множителями
1.8 Расходимость линейных методов суммирования рядов Фурье.

2 Периодические всплески.
2.1 ПКМА и масштабирующая последовательность
2.2 Порождающая функция
2.3 Биортогональные базисы сдвигов и пространства всплесков
2.4 Разложение функций по системам всплесков
2.5 Прямые и обратные теоремы
2.6 Нормы полиномов по системам всплесков
2.7 Многомерные всплески
3 Приближение функций алгебраическими полиномами и квазиполиномами.

3.1 Полиномиальные базисы Шаудера в пространстве С[—1,1]
3.2 Приближение квазиполиномами на выпуклых компактных множествах
3.3 Квазиполиномы Бернштейна

Введение.
Работа посвящена исследованию связей между различными аппроксима-ционными и структурными свойствами функций одной и нескольких переменных. В трех главах диссертации изучаются соответственно три аппарата приближения: тригонометрические полиномы, всплески и алгебраические полиномы.
Большая часть первой главы посвящена кратным рядам Фурье. Многие вопросы суммируемости рядов Фурье, хорошо изученные в одномерном случае, остаются открытыми для многомерного. Более того, сами одномерные постановки задач неоднозначно распространяются на кратный случай. Это связано в первую очередь с тем, что понятие суммы кратного ряда зависит от способа образования частичных сумм. Обычно рассматриваются кубические, прямоугольные или сферические суммы. Среди многочисленных математиков, изучавших такие методы суммирования, можно назвать имена: Г. Харди, Л. Тоннели, А. Зигмунд, Й. Марцинке-вич, Е.М. Стейн, С. Фефферман, П. Шолин, А.А.Талалян, Ш.А.Алимов, Л.В.Жижиашвили, К.И.Бабенко, В.А. Ильин, С.В.Конягин, Р.М.Тригуб, Б.И. Голубов, Л.Д.Гоголадзе, М.И.Дьяченко, И.Л.Блошанский. Не менее естественно рассматривать частичные суммы, состоящие из гармоник, с номерами из гомотетов некоторого фиксированного множества. Для широкого класса множеств редко удается получать конкретные результаты, т.к. геометрические свойства границы множества существенно влияют на аппроксимационные свойства соответствующих методов суммирования. В связи с этим представляет интерес изучение многогранников, которые достаточно многообразны, но их границы обладают сходными геометрическими свойствами. Суммирование рядов Фурье по многогранникам мало из-

Мы будем говорить, что ряд Фурье по всплескам сходится, если последовательность СХОДИТСЯ, при j —» ОО, равномерно ПО всем
Теорема 2.40. Если (риф удовлетворяют (0.24), то ряд Фурье функции / Є L(Td) по всплескам сходится к / в каждой сильной точке Лебега. В частности, для / Є Log L(Td) имеет место сходимость почти везде. Теорема 2.43. Пусть (риф удовлетворяют (0.24), ге v ~ монотонно убывающая на [0, со] функция такая, что

J pd~1u(p) dp < оо. (0.25)

Тогда ряд Фурье функции / Є L(Td) по всплескам сходится к f в каждой ее точке Лебега.
Аналогичный результат для непериодического случая был получен С.Келли, М.Коном, JLРафаэль [53].
Условия 0.24, 0.25, налагаемые на функции <р,ф, в теореме 2.43 нельзя заменить на |у?(£)|, 1(01 — Ct~d.
Теорема 2.45. Пусть (риф удовлетворяют (0.24), ге v ~ монотонно убывающая на [0, оо] функция такая, что

J (log p)d~1+au(p) dp < оо, а > 0.

Тогда ряд Фурье функции f 6 L{Td) по всплескам сходится к / почти везде.
Глава 3. Приближение функций алгебраическими полиномами и квазиполиномами.
§ 3.1. Полиномиальные базисы Шаудера в пространстве С—1,1] Теорема 3.1. Для любого £о > 0 существует последовательность алгебраических многочленов Тп степени не выше п(1 + £о)> попарно ортого-