О критических свойствах при росте кластеров DLA

• Автор: Меньшутин, Антон Юрьевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 77 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Алгоритм роста кластеров ОЬА
1.1. Алгоритмическая модель
1.2. Вероятность возврата
1.3. Организация памяти
1.4. Алгоритм генерации кластеров БЬА
1.5. Анализ производительности алгоритма
Глава 2. Фрактальная размерность, слабое самоусреднение и муль-тискейлинг в модели ОЬА
2.1. Определение фрактальной размерности . :
2.1.1. Л, как среднее по ансамблю
2.1.2. Л, как среднее по гармонической мере
2.2. Результаты измерения фрактальной размерности
2.3. Скейлинг положения центра масс
2.4. Слабое самоусреднение в модели ОЬА
2.5. Поправки к закону скейлинга
2.6. Мультискейлинг
Глава 3. Метод пробных частиц переменного размера
3.1. Вычисление средних по гармонической мере с использованием пробных частиц переменного размера
3.2. Число частиц, доступное для пробных
3.3. Оценка фрактальной размерности методом пробных частиц переменного размера
3.4. Фрактальная размерность в пределе 5 —»

3.5. Оценка ошибок измерения
3.6. Скейлинг функции .О (IV, <5)
3.7. Функция распределения вероятности роста
3.8. Точное число частиц, лежащих на поверхности
Глава 4. Анизотропные кластеры и их свойства
4.1. Алгоритм
4.2. Влияние анизотропии на структуру кластеров
4.3. Спектр Фурье для плотности частиц по углу
4.4. Фрактальная размерность анизотропных кластеров
Заключение
Литература

Введение
Большинство объектов, встречающихся в природе, имеет чрезвычайно сложную структуру, которую невозможно описать простыми геометрическими формами [3, 4]. Отличительная черта таких объектов - отсутствие минимального масштаба, после которого структура объекта начинает упрощаться. Так, длина береговой линии при ее измерении линейками различной длины окажется возрастающей величиной. Чем больше будет точность измерений, тем больше будет длина линии [26]. Объекты, обладающие такими свойствами называются фракталами, при этом их отличительным свойством является наличие самоподобия (точного пли статистического).
Распространенный метод построения фракталов заключается в использовании специальной рекурсивной процедуры. Одной из таких процедур является алгоритм, предложенный Виттеном и Сандером в 1981 году [51] и получивший название агрегации, ограниченной диффузией (Diffusion Limited Aggregation - DLA). В основе алгоритма лежит идея о том, что рост агрегата происходит путем налипания частиц, двигающихся случайным образом, друг на друга. Если плотность частиц мала, то можно считать, что за один шаг алгоритма прилипает только одна частица. Размерность фракталов меньше размерности пространства, в котором он построен и в большинстве случаев не есть целая величина. Так, для нахождения фрактальной размерности модели DLA чаще всего используется соотношение вида N ос Rd, где R - размер кластера, а N - число частиц в нем.
Объекты, построенные по алгоритму Виттена и Сандера (см. рис. 1) демонстрируют развитую ветвистую структуру и, по-видимому, являются фракталами, т.к. численно их фрактальная размерность D ~ 1.71. Фрактальная структура возникает из-за того, что быстро растущие ветви экранируют другие части кластера, рост которых сильно замедляется.
Интерес к модели DLA связан с тем, что похожие структуры возникают в

Рис. 2.6. Квадрат относительной ошибки определения фрактальной размерности О(Л') как функция числа частиц N вычисленная по зависимости Л];™. Черная кривая построена по 100 кластерам каждый по 50 млн. частиц. Цветные кривые - по 5 различным ансамблям из 20 кластеров.
определения коэффициента Д для Яаер составляет 50%, для - более 100%. Для £ и Ядуг эта ошибка оказывается существенно меньше. Если же О и и не фиксированы (что является естественным выбором), то коэффициент Д оказывается равен 0 (в пределах ошибки). Отсюда следует, что выражение (2.7) дает неверное описание поведения различных линейных размеров с ростом кластера. Поправок к закону скейлинга вида (2.7) не наблюдается.
2.6. Мультискейлинг
В работах [5, 12, 13, 38, 39] высказано предположение, что кластеры ОЬА описываются не одной фрактальной размерностью, а бесконечным их числом. Если д (г, К) - плотность частиц на расстоянии г от центра, а Я. - размер кластера,