Динамика солитонов в штарковских средах и техника калибровочных преобразований

• Автор: Устинов, Николай Витальевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 257 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Некоторые модели нелинейной оптики, физической акустики и методы
теории солитонов
1.1 Самоиндуцированная прозрачность и оптика штарковских сред
1.2 Оптически плотные среды и оптика тонких плёнок
1.3 Акустические импульсы в низкотемпературных парамагнитных кристаллах
1.4 Метод обратной задачи рассеяния
1.5 Редукции и интегрируемые модификации интегрируемых уравнений
1.6 Алгебраические методы и техника калибровочных преобразований в теории солитонов
Глава 2. Преобразования линейных задач в теории солитонов
2.1 Некоторые классы калибровочных преобразований
2.2 Свойства элементарных преобразований Дарбу
2.3 Свойства преобразований Шлезингера
2.4 Бинарное и инфинитезимальное преобразования Дарбу
2.5 Связь с рациональной задачей Римана-Гильберта
2.6 Преобразования задач с полиномиальной и рациональной зависимостями от спектрального параметра
Выводы и основные результаты главы
Глава 3. Редукции, сохраняющие их калибровочные преобразования и
интегрируемые модификации ..'
3.1 Некоторые типы редукций, определяемых автоморфизмами
3.2 Достаточные условия сохранения редукций при проведении преобразований Дарбу
3.3 Интегрируемые модификации нелинейных интегрируемых уравнений
Заключительные замечания к главе
Глава 4. Режимы прозрачности в условиях синхронизма длинных и коротких
волн
4.1 Система синхронизма длинных и коротких волн
4.2 Преобразование Дарбу и солитонные решения
4.3 Оптические импульсы в условиях сильного и слабого возбуждений штарковской среды
4.4 Случаи ’’плотной” среды, сред с выраженным двулучепреломлением и с диполь-дипольным взаимодействием
4.5 Режимы оптической прозрачности в штарковских средах
4.6 Ультракороткие акустические импульсы
Глава 5. Скалярные оптические и акустические импульсы в штарковских
средах
5.1 Однокомпонентпые редуцированные уравнения Максвелла-Блоха для штарковской среды
5.2 Оптические соли гоны в штарковской среде
5.2.1 Однополярный импульс
5.2.2 Бризероподобный импульс
5.3 Нелинейная динамика квазипродольного звука в парамагнитном кристалле
5.4 Однополярные и бризероподобные акустические импульсы
Выводы
Глава 6. Прохождение импульсами излучения штарковской границы
раздела
6.1 Основные уравнения
6.2 Векторный случай
6.3 Скалярный случай
Выводы
Глава 7. Векторные солитоны в штарковских средах
7.1 Двухкомпонентные редуцированные уравнения Максвелла-Блоха
7.1.1 Поперечные акустические импульсы в системе крамерсовеких дублетов

7.1.2 Пара Лакса и преобразование Дарбу
7.1.3 Особенности динамики эффективных спинов и поля деформации
7.2 Модифицированное уравнение синус-Гордона
7.2.1 Представление нулевой кривизны и преобразование Дарбу
7.2.2 Солитонные решения
7.3 Модифицированные редуцированные уравнения Максвелла-Блоха
7.3.1 Продольно-поперечные импульсы в деформированном кристалле
7.3.2 Пара Лакса и преобразование Дарбу
7.3.3 Солитонные решения
7.4 Векторные редуцированные уравнения Максвелла-Блоха
Заключительные замечания к главе
Заключение
Литература

спектральной задачи (1.3), многомерных задач, а также для спектральных задач, содержащих дифференциально-разностные и интегро-дифференциальные операторы [212]-[214]. Несколько иной подход к ПД, основанный на концепции операторов преобразования и соотношении сплетапия, был развит в [215, 216].
Отметим, что существует связь между ПД (1.5), (1-6) и пространственной частью ПБ иерархии интегрируемых НЭУ, порождённой спектральной задачей (1.2). Выразив а из (1.6) н подставив в (1.5), а затем ф в (1.7), после однократного интегрирования получим искомое обыкновенное дифференциальное уравнение, связывающее и и й. Вследствие этой связи ПД тоже представляет собой частный случай калибровочного преобразования.
Рассмотрим вопрос об удобстве использования представленных выше алгебраических методов при получении решений интегрируемых НЭУ, которые удовлетворяют редукционным ограничениям, обсуждавшимся в предыдущем параграфе. Для метода Хироты при этом возникают ограничения на коэффициенты решения билинейных уравнений. Их формулировка при увеличении длины ряда становится практически трудно выполнимой. ПБ в случае простых редукций (например, приводящих к уравнению СГ) можно получить непосредсвенно для редуцированного НЭУ. Однако для более сложных редукций формулы ПБ не известны. Причина этого заключается в резко возрастающей сложности выражений, которые должны быть получены. (Так, ПБ уравнения Цицеики имеет вид системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка [217].) Использование более общих формул ПБ, которые не учитывают заранее редукции (таких, как формулы суммы нескольких ЭПБ [209]), а затем наложение дополнительных условий с целью получения решения, удовлетворяющего редукции, также оказалось довольно затруднительным и не осуществлено.
Учёт некоторых классов редукций может быть сделан в рамках рациональной задачи РГ или эквивалентным ей методом одевания. Для того, чтобы матрица и удовлетворяла редукции необходимо наложить ограничения на расположение нулей и полюсов, а также на пространства ядра и образа проекторов. Явный вид этих ограничений для некоторых редукций даны в [12, 170]. Однако для редукций, являющихся суммой нескольких, эта техника не очень удобна, так как возникают сложные связи между пространствами проекторов в рекуррентной формуле (1.4). Кроме того, некоторые редукции приводят к ограничениям на данные рассеяния, при которых невозможно существование решений с дискретной частью данных рассеяния, либо которые не достаточны для разрешимости задачи РГ. Для получения решений, удовлетворяющих таким редукциям, необходимо выйти за рамки стандартного формализма рациональной задачи РГ.