Двойственные методы решения задач оптимального управления гиперболическими системами

• Автор: Раафат Махроус Мохамед
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с. : ил.

ГЛАВА 1. Задача управления дифференциально
операторной гиперболической системой.
§1.1. Постановка задачи
§ 1.2. Сведение к обобщенной проблеме моментов
§ 1.3. Аппроксимация. Двойственный регуляризованный метод
ГЛАВА 2. Задачи управления колебаниями струны.
§2.1. Обобщенный метод моментов для задач с несколькими управлениями.
2.1.1. Постановка задачи
2.1.2. Сведение к обобщенной проблеме моментов
2.1.3. Аппроксимация. Двойственный регуляризованный метод. 29 § 2.2. Конечноразностние аппроксимации.
2.2.1 Постановка задачи
2.2.2 Сопряженные системы, градиенты 37 функционалов.
2.2.3 Конечноразностный двойственный регуляризованный 39 метод. Сходимость решений уравнений.
2.2.4 Сходимость решения по функционалу. 44 Слабая сходимость управлений.
2.2.5 Сильная сходимость по управлению
ГЛАВА 3. Задача управления колебаниями пластины.
§ 3.1. Постановка задачи
§ 3.2. Сведение к обобщенной проблеме моментов
§ 3.3. Вычисление параметров собственных колебаний
§ 3.4. Аппроксимация. Двойственный регуляризованный метод
ПРИЛОЖЕНИЕ. Результаты вычислительных
экспериментов для задачи управления круглой упругой пластиной.
ЛИТЕРАТУРА

В практике часто возникают задачи управления системами, движения которых носит колебательный характер. Это, в частности, задачи гашения нежелательных вибраций в различных механических системах (например, в летательных аппаратах), задачи гашения пульсаций давления газа или жидкости в трубопроводных линиях, задачи управления колебаниями проводников с током. В последнее время такие задачи стали возникать также в области радиофизики, оптики, лазерной и измерительной техники [5,11,39,41,42,43]. В настоящее время, в связи с прогрессом в развитии вычислительной техники, разработка эффективных методов вычисления программных и синтезирующих оптимальных управлений для этих задач является актуальной.
Математическое описание управляемых колебательных процессов приводит к задачам оптимального управления гиперболическими системами, которые относятся к интенсивно развивающейся в настоящее время теории оптимального управления системами с сосредоточенными и распределенными параметрами. Исследование и разработка численных методов решения задач оптимального управления системами с распределенными параметрами в настоящее время является актуальной проблемой [5,9,10,16,17,40]. Важный класс в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами составляют задачи минимизации терминального квадратичного функционала на решениях линейного гиперболического уравнения, с ограниченными по норме управлениями. В частности, случай равенства нулю нижней грани функционала соответствует задачам перевода (управляемости) или наибыстрейшего перевода системы из заданного начального состояния в заданное конечное. Исследование и решение этих задач с помощью разработанного H.H. Красовским метода моментов [35] и развитого в работах А.Г. Бутковского, Т.К. Сиразетдинова, Д.Л. Рассела, а также работах отечественные и зарубежных авторов [2,5-9,10,13,14,18,19,31-33,41].
В данной работе для исследования указанного класса задач предлагается обобщение метода моментов связанного с теорией двойственности, регуляризации [44], позволяющее единообразно рассматривать не только упомянутые выше, ранее исследованные случаи,

но и более общие задачи, когда нижняя грань функционала больше нуль и имеются ограничения на управления. На основе этой теории строятся численные методы решения задач с распределенным управлением и с граничными, выделяются классы корректных по А.Н.Тихонову квадратичных задач, доказываются теоремы существования и единственности оптимальных управлений, описываются множества оптимальных управлений и выводятся формулы для нормальных оптимальных управлений.
При численной реализации задач оптимального управления на ЭВМ одним из основных является подход, связанный с заменой исходной задачи последовательностью более простых, аппроксимирующих задач, получаемых, например, методом прямых или конечно-разностным методом, и которые могут решатся, например, методами математического программирования [10,15,23,30]. При этом, естественно, возникают вопросы выбора аппроксимирующей задачи, близости решений по функционалу и аргументу. В теории оптимального управления эти вопросы рассматривались, например, в работах [1,3,10,25,26]. Задачи оптимального управления, вообще говоря, относятся к классу некорректных задач, т.е. из близость управлений по функционалу не вытекает близость к оптимальному управлению. В данной работе методом регуляризации А.Н.Тихонова [10,44] строится последовательность управлений, сходящаяся по аргументу к нормальному оптимальному управлению.
Прежде чем перейти к более подробному изложению результатов данной работы дадим математическое описание исследуемых задач оптимального управления. Пусть Н, W0 - гильбертовы пространства со скалярными произведениями соответственно (-, •)#, {-, -)о- На отрезке времени [to, Т] рассмотрим задачу минимизации функционала
J(u) = Ф((ш(Т),гу/(Т),гу(-),гу/(-),и) —> inf, и С U G Н, (1)
где w(-) - решение дифференциально-операторного уравнения
Lw = w" + B(t)w' + A(t)u> + C(t)w = f(t), t G [to, T], (2)
с начальными условиями
iu(t0) = (p°, w'(t0) = v?1. (3)
Здесь функции w(t), f(t), t G [to, T имеют значения из H, A(t),
t G [to, T] - линейный, самосопряженный, положительный оператор в II,

уравнение (3.1.1) с краевыми условиями (3.1.2),(3.1.3) однозначно определяет функцию отклонения пластины от положения равновесия и/(1, г, #). Соответствующие теоремы существования и единственности решения можно найти, например, в работах [20,37]. Пусть к поверхности пластины приложены в управляющих воздействий и(!) = (щ(1), ...,«<,(£)) с соответствующим распределением по поверхности
й(г, 9) = (с?1(г, в) сЦг, 6»)), (г, 6») е 12 = (0, г0) х [0, 2тг).
Тогда функцию F(t, г, 9) в правой части уравнения (3.1.1) можно записать в виде

Жг^) = Ж б)гч(*) + Ж г, 9), (3.1.4)

где /(2, г, 0) 6 Тг((5), С? = (2о, Т) х 11- известная функция,
задающая внешнюю нагрузку. В частности <2г(г, 0), г = 1,2 в может представляться в виде дельта-функций <2г-(г, (9) = 5(г — Г{, 9 — 9{), г
1,2 в, где (гг-,0;), г = 1,2 в- точки приложения управляющих воздействий. Задача управления состоит в том, чтобы при заданном начальном состоянии (3.1.3) найти управление и (2), которое переводило бы пластину к моменту времени 2 = Т как можно ближе к некоторому заданному конечному состоянию у = (у0(г, в), у1 (г, в)). Управления подчинены например ограничениям
и = {и Е Н = £|(20, Т) : &(и) < 0, * = 1 т}, (3.1.5)
где 5г(п), г = 1, ...,т- выпуклые дифференцируемые по Фреше функции,

причем д(и) = д{{и)- сильно выпукла. Будем считать, что для этого

множества выполняется условие Слейтера, т.е. й € II : дг(й) < 0, г = 1 ш.
Условие близости к состоянию у = (у°(г, 9), у1 (г, в)) можно
сформулировать в виде задачи минимизации функционала
J{u) = J(ИТ; •) - у°(-)|2 + Н(т; О - У1{-)2)г9г99. (3.1.6)

В случае у°(г, 9) = ух{г, 9) = 0 задача (3.1.1)-(3.1.6) превращается в задачу гашения (демпфирования) колебаний, а в оссесимметриченом случае точечное распределение переходит в управление по окружностям Ф(г) = 5(г — Гг), г = 1,2 §. Обозначим решения задачи (3.1.1)-(3.1.6)