Строение топологической милноровской K-группы двумерного локального поля

• Автор: Иванова, Ольга Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 86 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Предварительные факты
§1 Основные определения
§2 Вспомогательные утверждения
Глава 2. Образующие топологической АГ-группы
§1 Образующие Ук
§2 Образующие VК
Глава 3. Ранг топологической А'-группы как 2;,-модуля
§1 Вложение поля в стандартное
§2 Определение и свойства Тк
§3 Подгруппа конечного индекса
§4 Специальные виды полей
Глава 4. Порядки образующих стандартного поля
§1 Порядки образующих стандартного поля
§2 Ручное расширение кругового поля: оценки снизу
§3 Соотношения между порядками образующих
§4 Ручное расширение кругового поля: оценки сверху
Список литературы

Введение
Локальными полями называются полные дискретно нормированные поля с конечным полем вычетов. Их структура известна: локальные поля характеристики 0 изоморфны конечным расширениям поля р-адических чисел Qp, а поля ненулевой характеристики - полям формальных рядов над конечными полями. В работах Г. Вебера и Д. Гильберта в конце 19 века появилось понятие нолей классов, а именно алгебраических расширений ноля алгебраических чисел, в которых распадаются те и только те дивизоры из поля алгебраических чисел, которые принадлежат главному классу группы классов дивизоров; а также теория полей классов, изучающая группы Галуа таких расширений. Было устанавлено взаимно-однозначное соответствие между абелевыми расширениями локального поля и подгруппами мультипликативной группы ноля, являющимися соответствующими норменными подгруппами. Более того, был построен гомоморфизм из мультипликативной группы поля в группу Галуа ею максимального абелева расширения, который для любого конечного абелева расширения индуцирует изоморфизм между факторгруппой по норменной подгруппе и группой Галуа расширения. Такой гомоморфизм называется отображением взаимности, он описан, в частности, в книге А. Вейля [3]. Отображение взаимности почти биективно: оно инъективно и образ его всюду плотен.
Для расширений куммеровского типа с отображением взаимности связан символ Гильберта, который является спариванием на мультипликативной группе поля. Для него имеются явные формулы. Исторически возникли два типа формул для символа Гильберта. Первый из них появился в работе Э. Артина и Г. Хассе, в которой выведены явные формулы, дающие ответ в определенных частных случаях в терминах следа некоторого элемента. Позднее этот подход был развит в работах К. Ивасавы в круговом случае и Ш. Сена в общем случае. Другой подход был впервые предложен И. Р. Шафареиичем в 1950 году. Окончательные явные формулы для классического символа Гильберта в этом направлении были независимо получены С. В. Востоковым в 1978 году' в [4] и Г. Брюкнером в 1979 году в [20] для случая р Д 2. В начале 1980-х годов появились явные формуля для случая р = 2. Позднее в работе Дж. Нойкри-ха [33] появилась конструкция для отображения взаимности, которую впоследствии удалось обобщить на многомерные локальные поля. Изложение локальной теории полей классов с использованием когомологий групп можно найти в книге Ж. П. Сер-ра [34]. В ней излагается подход Г. Хохшильда, развитый впоследствии Э. Артином и Дж. Тейтом. Конструктивный подход без когомологий изложен в книге И. Б. Фе-сенко и С. В. Востокова [27].
В 70-х годах А. Н. Паршин и К. Като независимо начали изучение многомерных локальных полей, которые представляют собой естественное обобщение классических локальных полей. Они определяются так.

Определение. Полное дискретно нормированное поле F называется гг-.мерным локальным полем, если для него существует последовательность полных дискретно нормированных полей FjF'-1'
р(п) = 7?;
F- конечное поле,
для любого г 6 {1
Поле F(n~1 называется первым полем вычетов F, а поле F - последним полем вычетов.
Часто рассматривают многомерные поля над совершенным полем вычетов, то есть вместо условия конечности поля F(°) требуют только, чтобы оно было совершенным. Многие свойства остаются верными и для этого класса полей. Однако в настоящей работе для всех многомерных полей мы предполагаем, что их поле вычетов конечно.
Сейчас многомерные локальные поля достаточно изучены, И. Б. Жуковым в [8] и [39] доказана теорема о классификации. Если характеристика ноля F = F не равна 0, то F изоморфно полю формальных рядов от п переменных над конечным полем. Поля характеристики 0 разбиваются на классы в зависимости от характеристик полей вычетов. Для любых т и п таких, что 0 < т < п — 1, среди гг-мерных нолей, удовлетворяющих условию char F(jn+l'> = 0, char F("*' = р, описан тип полей, называемых стандартными, а именно /{{Д}} ... {{Tm}}((Tm+2))... ((Т„)), где / -обычное локальное поле, в частности, если все поля вычетов, кроме последнего, имеют характеристику 0, то стандартное ноле - это поле формальных рядов от гг — 1 переменной над локальным полем. Доказано, что любое поле является конечным расширением стандартного и для любого поля есть стандартное, которое является его конечным расширением, а в случае char ДВ) = 0 любое поле стандартно.
На многомерном локальном поле F = F определена топология, которая учитывает топологии полей вычетов; она была описана А. Н. Паршиным в [17]. Это сильнейшая топология, для которой любой элемент F однозначно раскладывается в сходящийся ряд, в котором каждое слагаемое является произведением локальных параметров в некоторых степенях и представителя элемента из F°K Такая топология определена однозначно, если первое ноле вычетов имеет ненулевую характеристику. Мультипликативная группа F* = Ъп х U, где U - группа единиц, снабжается топологией произведения дискретной топологии на Ъп и индуцированной с F на U.
В теории нолей классов .многомерных локальных полей вместо мультипликативных групп используются милноровские Д-группы. В частности, для двумерного поля отображение взаимности строится из второй милноровской Д-группы в группу Галуа максимального абелева расширения. Как и в случае обычного локального поля для любого конечного абелева расширения отображение взаимности индуцирует изо-

где у' £ V, тогда г > 0. Положим хпо = х, гпо = гпп = 1. При п > п0 построим такие последовательности {хп}, {гпп}, что
Х777 ,П7Г,П~1’ {Тт!!?/} “Ь {-77,7151 Т {Т1,71)}' (‘)
Пусть уже построены П-е члены последовательностей, И1„ = ХПХП1 ГДе
= ГИ + [6У7Г"Г)> <еС/(п + 1)
Положим
„ Ш,,]7ГП+Ч''+У
“1 + 1 + [0„]7Г»?'
Тогда г>п —> 1 при I/ —> оо. Следовательно, произведения
— 11 ип, Ып
определены, И ип,11)п £ и{п + 1). Из соотношения Стейнберга следует, что
«, у} = £{1 + []тгпГ, у} = (п{тг, + 1У{г, } + {у, ип})
и>и 0 о
=п{п,ип} + ,№„} + {у,Мп}.
Положим
ХП+1 Хпп 5 77,77+1 77,7171 1 1,71+1 7,77ТГ?! ,
эти элементы удовлетворяют условию (2.7). Последовательность сходится к 1 в И
и последовательности ,г}, УД сходятся к некоторым ,7, г* £ 1/(по + 1). Получаем,
что {т„, у} —> 0, и г-, - искомые.
Теперь докажем первое утверждение. Имеем а = Х1{ая7А} для некоторых а8 £ и( 1),Д, € А-. Пусть /?5 = [ДлУ“/?', где /?' £ И. Тогда
{«,,&} = г5{о8,7г} + у.,{а3,} + {ая,/3'}.
Складывая такие равенства для всех в, получаем, что
N N N
а = {Па?>7г} + |Па»4’*}+X)
5=1 8
Применение доказанного утверждения к {а5,/?(} завершает доказательство леммы.

В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.