О средних значениях сумм характеров Дирихле от рациональных функций и приложения

• Автор: Турешбаев, Байдильда Абдильдаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 78 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Полные суммы характеров Дирихле от многочленов
1. Полные суммы характеров Дирихле от многочленов одной переменной
2. Среднее значение полных сумм характеров Дирихле от многочленов одной переменной
3. Полные суммы характеров Дирихле от многочленов многих переменных
Глава II. Г-функции Дирихле по модулю, равному степени простого числа
1. Оценка гибридных сумм
2. Оценка Г-функций Дирихле в окрестности прямой 11е «
3. Границы нулей Г-функций Дирихле
Глава III. Проблема делителей Титчмарша специального вида
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. В ней мы даем приложения оценок сумм характеров Дирихле по модулю, равному степени простого числа. Впервые на тесную взаимосвязь таких сумм с суммами Г. Вейля обратил внимание в 1955 г. А. Г. Постников. Он получил принципиально новые оценки таких сумм.
Данная работа включает в себя три главы. Первая из них посвящена полным суммам характеров Дирихле по модулю, равному степени простого числа, от многочленов одной и нескольких переменных.
Оценки сумм характеров Дирихле по простому модулю от многочленов исследовалась многими авторами. Современная оценка их получена в 1948 г. А. Вейлем [61]. Его результат можно сформулировать следующим образом: если f(x) — многочлен степени п) 3 с целыми коэффициентами, взаимно простыми в совокупности с простым числом р 3, а х — примитивный характер по модулю р степени /, /(ж) ф дх) (mod р), то выполняется оценка
£х(/(*0)

< (п - 1)у/р.
В 1986 г. Д. И. Исмоилов [23, 57] исследовал подобные суммы по модулю, равному степени простого числа. Он получил следующую оценку
Х(а0 + а1ж + Ь

где х — примитивный характер Дирихле по модулю рк, (ах
1. Результат Д. И. Исмоилова основан на применении метода Хуа Ло-Гена [44] для оценки полных рациональных тригонометрических сумм и формулы А. Г. Постникова [38] для примитпвного характера Дирихле.
Мы продолжаем исследования Д. И. Исмоилова и устанавливаем оценки сумм примитивных характеров по модулю рк от многочлена вида /(ж) = ао + ра1г(х), где коэффициенты многочлена к{х) в совокупности взаимно просты с р и /г(0) = 0. Приведем формулировку нашего результата.

Теорема 1. Пусть к, а — целые числа, 0 а к — 1, к 2, р — простое, /г (ж) — многочлен степени п с целыми коэффициентами, взаимно простыми в совокупности с р, р > п 3, /г(0) = 0, х — примитивный характер по модулю рк. Тогда для
справедлива оценка где
с(п) = <
ПА/П,
п2/,г,

5 = +раЦх))

|5| < с(п)ркі1~п)+а/п,
при р (п — 1)п/(п-2)?
при (п - 1)п/(п~2) < р (п — 1)2п/(п-2);
при р > (гг — 1)2п/(п“2).
Далее изучаются средние значения а полных сумм характеров от многочленов
Рк - Рк~а
Е Е' ЕЕ-Е
к= 1 х «0 = 1 Оі = 1 ап
тосі рк Жа1

Хд (а° + Ра{аіх Ь агажп))

где штрих в знаке суммирования означает, что % пробегает все примитивные характеры по модулю рк. Так же, как и в работах в [2, гл. II], [49], находится точное значение показателя сходимости этого ряда.
Теорема 2. Пусть п 3, а 0 — целые числа, р 3 — простое, р > п. Тогда ряд а сходится при
п(п + 1)
2га >
и расходится при
п(п + 1)
2га + 2п + 1.

Так как многочлен h(x) — выщербленный, то найдется s < п такой, что
о = - (s + + +(-1)"-* (”) «м (*<>)"",
откуда следует, что
(:)«?> (Є«) — 0 (mod р).
Поскольку = 1, то = 0. Очевидно, что многочлен
h (х) = p~Ul (h (1) + pxj - h (1)) )
будет тоже выщербленным. Применяя те же самые рассуждения к многочлену hi(x), h2(ж) и т.д., получим, что с1) = = £0) = 0.
Таким образом, количество многочленов с набором показателей (г*і
pj~dpM pj-dpl+j(ni + '--+ni)~(j-d) _ pl+jinx + '-' + ni)
Число наборов показателей (г«і
п «і Uj 2, Aj_i > 0, Kj О
не превосходит, как это показано в доказательстве теоремы 2, (к + п)п.
Таким образом, количество многочленов, имеющих набор показателей длиной j не больше
(k + n)npl+j+-+ni).
Разобьем все многочлены h(x) — ах + + апхп (1 ai