Вложение решеток в решетки замкнутых подмножеств пространств замыкания

• Автор: Семенова, Марина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 125 с. : ил.

1. Основная конструкция
1.1. Основные определения
1.2. Вспомогательные результаты
1.3. Раскрашенные леса
2. Решетки подпорядков
2.1. Полудистрибутивность вверх и ограниченность снизу
2.2. Теорема Бредихииа-Шайна
2.3. Упорядоченные множества без бесконечных цепей
3. Решетки подполугрупп
3.1. Полурешетки: произвольный случай
3.2. Полурешетки: конечный случай
3.3. Полугруппы с сокращением
3.4. 2-Нилышлугруппы
3.5. Нильпотентные полугруппы
3.6. Свободные полугруппы
Список литературы
Оператор :р на множестве X называется оператором замыкания, если он обладает следующими свойствами:
(О ¥>(0) = 0;
(ii) А С р(Л) С X для любого А С А';
(iii) <р2(А) = <р(А) для любого А С X;
(iv) Iр(А) С р(В) для любых АС В С X.
Пространством замыкания называется пара (X, р), где X — множество, а р — оператор замыкания на X. Если р(А) = А, то множество А С X наывается замкнутым. Множество L(X, р) всех замкнутых подмножеств пространства (X, р) образует полную решетку относительно включения, в которой выполняются равенства
/Ai = f]Ati jAi = p(jAi)
iel iel iel iel
для любого семейства замкнутых множеств А{ С X, г С I. Решетка L(X, р) называется решеткой замкнутых подмножеств.
К примеру, для любой алгебраической системы А и для любого множества В С. А пусть (В) обозначает подсистему в А, порожденную множеством В. Тогда (А, ( )) является пространством замыкания, для которого решетка замкнутых подмножеств совпадает с решеткой подсистем Sub Л. Другой пример решетки замыкания можно указать, используя частично упорядоченные множества. Пусть (Р, <) — строго частично упорядоченное множество, то есть бинарное отношение Конечно, два приведенных выше примера ни в коем случае не исчерпывают весь список пространств замыкания, которые служат объектом широкого круга исследований во многих областях алгебры, логики и, в частности, теории решеток, см. [4, 31, 10, 35, 56, 51]. Эти исследования связаны с изучением свойств решеток замкнутых подмножеств как конкретных пространств замыкания, так и абстрактных пространств замыкания в целом.

3. Решетки подполугрупп
Эта Глава IIосвящена изучению решеток, вложимых в решетки подполугрупп полугрупп, принадлежащих различным конкретным классам. Алгебраическая система (S, о) с одной бинарной ассоциативной операцией о называется полугруппой. Множество подполугрупп полугруппы (S, о) образует, как было отмечено выше, полную решетку по включению; мы обозначаем эту решетку Sub 5. Сопоставляя каждому X С S подполугруппу (X), порожденную множетсвом X, мы получаем алгебраический оператор замыкания на S. Решетка замкнутых относительно этого оператора замыкания подмножеств в S совпадает с решеткой подполугрупп Sub 5. Таким образом, решетка Sub S является алгебраической для любой полугруппы (5,0). Кроме того, нетрудно видеть, что для любого семейства {Х{ | г 6 /} С Sub S справедливы равенства
fXi = [)Xi, V** = (U^)-
Ш iel Ш iel
В. Б. Рспницкий в работе [11] показал, что любая решетка вложима в решетку подполугрупп полурешетки, коммутативной 2-нильполугруп-пы, а также коммутативной полугруппы, не содержащей идемпотентов, с сокращением и однозначным извлечением корня. В работе [43] он описал конечные решетки, вложимые в решетки подполугрупп полугрупп, свободных в различных классах, а в работе [48] (см. также [47]) дал характеризацию многообразий полугрупп, решетки подполугрупп которых удовлетворяют нетривиальному решеточному тождеству. Часть упомянутых результатов В. Б. Репницкого вошла в монографию Л. Н. Шеврина и А. Я. Овсянникова [56] в виде отдельной главы. В своем доказательстве результата о решеточной универсальности класса полурешеток, класса коммутативных 2-нильполугрупп, а также класса полугрупп, не содержащих идемпотентов, с сокращением и однозначным извлечением корня
В. Б. Репницкий использовал теорему Бредихина-Шайна о вложимости произвольной решетки в подходящую решетку иодпорядков. В связи с этим в монографии [56] был поставлен вопрос ([56, вопрос VIII.7]) о существовании доказательства теоремы Репницкого, которое не использовало бы решетки подпорядков. В параграфе 3.1 мы приводим такое доказательство для класса полурешеток (теорема 3.1.11), в параграфе