Размерности коммутативных подалгебр и подгрупп в конечномерных алгебрах и нильпотентных группах

• Автор: Милентьева, Мария Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с.

1 Вполне изотропные подпространства набора билинейных

• кососимметрических форм

1.1 Определения и формулировка результатов

1.2 Предварительные сведения об алгебраических многообразиях

1.3 Доказательство теорем 1.1 и 1

2 Конечно порожденные нильпотентные группы

2.1 Определения и формулировка результатов

2.2 Нижняя оценка функции /2(п)

• 2.3 Верхняя оценка функции /2(п)

3 Нильпотентные ступени 2 алгебры и группы Ли

3.1 Определения и формулировка результатов
3.2 Сведение теорем 3.1 и 3.2 к случаю нильпотентных ступени 2 алгебр Ли
3.3 Доказательство теорем 3.1 и 3.2 для функции 12к{п)
4 Произвольные алгебры и группы Ли
4.1 Определения и формулировка результатов
® 4.2 Комплексные алгебры Ли
4.3 Вещественные алгебры Ли
4.4 Ассоциативные алгебры
4.5 Нижние оценки функций /ц(п) и 4г(п)
Список литературы
Список основных обозначений

Исследование коммутативных подгрупп и подалгебр является одной из классических алгебраических задач, вызывавшей интерес ученых уже в начале прошлого века. И. Шуром [31] в 1905 году были найдены абелевы подгруппы максимальной размерности группы всех невырожденных матриц. Этот результат был перенесен А.И. Мальцевым на произвольные полупростые группы. В его работе [12] 1945 года найдены коммутативные подалгебры максимальной размерности всех простых комплексных алгебр Ли.
Целая серия работ посвящена исследованию абелевых подгрупп максимального порядка в простых конечных группах. В нескольких последовательных статьях [22], [23], [32] и [33] Барри и Уонг получили порядки и строение унипотентных абелевых подгрупп максимального порядка в классических конечных группах Шевал-ле. Далее, в работе Е.П.Вдовина [2] были найдены верхние оценки порядков абелевых подгрупп во всех конечных простых группах. В работах [3], [4] этого автора найдены порядки больших унипотентных абелевых подгрупп в максимальных унипотентных подгруппах конечных исключительных групп Шевалле, и завершено описание абелевых подгрупп максимального порядка в конечных группах Шевалле.
Функцию, ограничивающую минимальное число порождающих конечной р-группы в зависимости от числа порождающих ее абелевых подгрупп, или близкую к ней функцию Р, такую что рр^ — максимально возможный порядок конечной р-группы, у которой порядок любой абелевой подгруппы не превосходит рп, рассматривали Бернсайд [25], Альперин [21], Томпсон (см. [27, стр. 343]) и Паттерсон [29]. Наконец, АЛО. Ольшанским [14] было установлено, что порядок роста этих функций квадратичен.
В работах Брауна и Колла [24], Куртера [26] и Паза [30] изучались максимальные коммутативные подалгебры матричных алгебр.
Настоящая работа посвящена оценке максимальных размерностей коммутативных подгрупп и подалгебр в конечно порожденных нильпотентных группах, группах Ли, ассоциативных алгебрах и алгебрах Ли. Особое внимание уделяется нильпотентным ступени 2 группам и алгебрам.
Основные результаты, полученные в диссертации, следующие:
• Дана нижняя квадратичная оценка функции, ограничивающей ранг без кручения конечно порожденной нильпотентной группы, в терминах рангов ее абелевых подгрупп.
• Доказано, что функции, ограничивающие размерность нильпотентных ступени 2 ассоциативных алгебр (алгебр Ли) над произвольным полем, у которых ограниченны размерности коммутативных подалгебр, имеют квадратичный порядок роста. Аналогичный результат получен для нильпотентных ступени 2 групп Ли.
• Вычислено точное значение функций, ограничивающих размерность конечномерных нильпотентных ступени 2 ассоциативных алгебр (алгебр Ли) над алгебраически замкнутым полем, у которых ограничены размерности коммутативных подалгебр. Аналогичный результат получен для нильпотентных ступени 2 комплексных групп Ли.
• Установлено, что функции, ограничивающие размерность конечномерных ассоциативных алгебр (алгебр Ли) в зависимости от размерности их коммутативных подалгебр, имеют квадратичный рост. Как следствие, получены также аналогичные
Отсюда следуют верхние оценки в теореме 3.1. Нижние оценки, в свою очередь, следуют из леммы 3.3. □
Лемма 3.4. Пусть поле К алгебраически замкнуто. Тогда функция 1 удовлетворяет неравенству
Доказательство. Рассмотрим произвольную нильпотентную ступени 2 алгебру Ли д над К. Сохраним все обозначения введенные в предыдущем пункте.
Предположим, что £ ^ 2. Тогда для к — выполняется условие (1.4), и значит, согласно теореме 1.2, существует к-мерное подпространство пространства V, вполне изотропное для всех форм <рь..., лемме 3.1, g содержит коммутативную подалгебру размерности s, такую, что
dimg ^ 2s — 1. □
Лемма 3.5. Для любого поля К имеет место неравенство
l2K(s) ^ 2s — 1.
; ^ 2n +1 — (t + 1) _ 2n — 1 t+2 t+2
Из этого неравенства получаем, что
Если же центр алгебры g одномерен, то есть t = 1, то, согласно