Кольца рядов Лорана и псевдодифференциальных операторов

• Автор: Туганбаев, Диар Аскарович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с.

Содержание
Введение

Условные обозначения

Глава 1. Определения и примеры колец рядов Лорана и их обобщений

1 Кольца псевдодифференциальных операторов, кольца рядов

Лорана и их обобщения

2 Определения лорановского кольца

3 Обобщённые лорановские кольца

’ 4 Лорановские кольца: обозначения и общие свойства

5 Задание лорановских колец явными

соотношениями

6 Примеры лорановских колец
Глава 2. Кольцевые свойства колец рядов Лорана и их обобщений
7 Тела
8 Нётеровы и артиновы кольца
9 Области, кольца главных идеалов и кольца Безу
10 Простые и полупростые кольца
11 Цепные и полу цепные кольца
12 Дистрибутивные полулокальные кольца
Список литературы
Предметный указатель

Введение
Данная работа посвящена исследованию теоретико-кольцевых свойств колец (косых формальных) рядов Лорана и колец (формальных) псевдодиф-ференциальных операторов. Начало использования колец косых рядов Лорана восходит к работам Шура, Диксона и Гильберта начала XX века. Например, при изучении независимости аксиом в геометрии Гильберт использовал кольцо косых рядов Лорана для построения тела, бесконечномерного над своим центром. Изучение колец рядов Лорана с произвольным кольцом коэффициентом было начато в конце 70-х - начале 80-х годов Лоренцем [31], Рисманом [46] и Смитсом [49]. Техника использования колец рядов Лорана является удобным инструментом в теории колец. Например, в [32] Макар-Лиманов с помощью колец косых рядов Лорана от двух переменных показал, что кольцо частных алгебры Вейля содержит свободную некоммутативную подалгебру. В работе Гудёрла и Смолла [21] кольца рядов Лорана используются для оценивания размерности Крулля и глобальной размерности нётеровых Р.1. колец.
В работах Сонина [8]-[11] и [50] систематически исследуктся теоретикокольцевые свойства колец рядов Лорана. В частности, выяснено, когда кольца рядов Лорана обладают размерностью Крулля, бирегулярны, строго регулярны и (в предположении конечности порядка скручивающего автоморфизма) регулярны.
Кольца рядов Лорана тесно связаны с кольцами рядов Мальцева-Неймана и кольцами обобщённых степенных рядов, интенсивно изучаемыми в последнее время. Напомним, что кольца рядов Мальцева-Неймана были определены в 1948 году <. .Мальцевым для доказательства вложимости групповой алгебры над полем в тело (независимо в 1949 году эта конструкция была определена Б.Нейманом). Среди многочисленных работ в этом направлении мы отметим работы Бергмана [14], Лоренца [31], Рисмана [46], Смитса [49] и Массона и Стаффорда [35]. Кольца обобщённых степенных рядов с показателями степени в упорядоченном моноиде в последние годы изучались в работах многих авторов (можно выделить работы Ри-бенбойма [37]—[45], а также работы [17] и [27]—[30]).
Алгебра псевдодифференциальных операторов Л((5-1)) была, по-видимому, введена Шуром в 1905 году в работе [48] и с тех пор неоднократно использовалась в различных разделах математики (см., например, [1], [47],
[6], [34]). Поскольку в диссертации исследуются лишь теоретико-кольцевые свойства колец псевдодифференциальных операторов, мы не излагаем здесь историю применения псевдодифференциальных операторов в математике и не приводим соответствующие работы, не относящиеся к структурной теории колец. Выделим только работы Гельфанда и Дикого [1] и Паршина [7].
В работе Паршина [7] автор развил алгебраическую теорию колец фор-
мальных псевдодифференциальных операторов от нескольких переменных и отмечает, что ’’другие подходы к построению колец псевдодифференциальных операторов см. в [24], [25], [2]”. В этой же работе используются итерированные кольца косых рядов Лорана. В структурной теории колец !20] кольца псевдодифференциальных операторов используются для кон-структивизации вычислений в алгебрах дифференциальных операторов (см. работу Гудёрла [20]), а также как источник многочисленных примеров (см., например, книгу Гудёрла и Уорфилда [22]). Если кольцо псевдодифференциальных операторов обладает правой размерностью Крулля, то оно является нётеровым справа кольцом [50].
Диссертация посвящена исследованию кольцевых свойств колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов. В связи с тем, что эти кольцевые свойства оказываются весьма близки друг к другу, оказывается удобно ввести понятие лорановских колец, включающее в себя как кольца косых рядов Лорана так и кольца псевдодифференциальных операторов и доказывать заметную часть результатов в такой общности. Строятся и другие примеры лорановских колец, для которых также верны многие результаты диссертации.
Все кольца предполагаются ассоциативными и с ненулевой единицей, но не обязательно коммутативными. В диссертации используются базовые сведения из теории колец, которые можно найти, например, в [4] и [12].
Первая глава диссертации посвящена определениям, обозначениям и развитию необходимой техники для проведения вычислений в лорановских кольцах. В ней также строятся различные примеры лорановских колец.
Кольцо косых рядов Лорана А{(х,ф)) и кольцо псевдодифференциальных операторов Л((£-1,<5)) над одним и тем же кольцом А изоморфны как абелевы группы и умножение в них задаётся похожим образом. Переменная в этих кольцах не коммутирует с коэффициентами и различие между кольцами состоит лишь в том, какое именно соотношение выступает в качестве замены коммутативности: ха = <р(а)х или ta = аЬ + 8 (а). В случае тождественного автоморфизма у> и нулевого дифференцирования 8, эти кольца изоморфны кольцу обычных рядов Лорана.
Многие теоремы переносятся с колец косых рядов Лорана на кольца псевдодифференциальных операторов и обратно практически без изменений, поэтому возникает закономерный вопрос о том, какого рода должно быть умножение (или задающее его соотношение вида ха = ...) на абелевой группе формальных рядов, для того, чтобы сохранялись те же самые кольцевые свойства.
Оказывается, что единственное необходимое свойство (если не считать естественных требований, вытекающих из дистрибутивности умножения по отношению к формальной бесконечной сумме, и из отождествления единицы кольца коэффициентов с единицей циклической группы по умножению, порождённой переменной) состоит в том, что младшая степень произ-
то определена и правая часть, осталось доказать их равенство.
Действительно, достаточно доказать, что для всех достаточно больших целых к разность
4-оо 4-оо 4-оо *—п
ЕЕи*о~ £ Е и.-м
*=п ^=т 4=п+т ]=т
лежит в £/4+1. Для этого достаточно доказать, что разность
к—т 4-оо к 1—п
£ 53 - 53 53 и'-з
*=п з=гл (=п+т j=m
лежит в £4+1, а для этого достаточно доказать, что разность
к—т к—п к *—п
53 53 -.ЕЕ ч-м
1=п *=п4-т д=т
лежит В £4+1- Но последнее равенство содержит только конечные суммы и непосредственно следует из того, что и;,;€£/,•+>.
(7) Требуемое равенство следует из пункта (6), применённого по отдельности к правой и левой частям требуемого равенства. О
Замечание. Во избежание конфликта обозначений, обозначение 2 для “обобщённой бесконечной суммы” не выносится за пределы доказанной выше леммы, так как в кольцах рядов Лорана, кольцах псевдодиффе-ренциальных операторов и т.д. знак 2 будет использован для обозначения формальной записи бесконечных рядов. Во всех этих кольцах, однако, формальная запись £ будет являться частным случаем “обобщённой бесконечной суммы”.
Нам потребуются следующие обозначения:
Пусть Л — обобщённое лорановское кольцо, а {£/;} — набор множеств в нём, как в определении 2. Тогда для каждого элемента из £4 назовём его свободным членом его образ при каноническом гомоморфизме £4 на А = £/о/£4. В случае кольца рядов Лорана это определение совпадает с естественным определением свободного члена, поэтому свободный член (когда он определен) элемента / будет обозначаться через /о. Легко видеть, что свободный член суммы (произведения) двух элементов из и0 равен сумме (произведению) их свободных членов.
Для каждого ненулевого элемента / из Я назовём его младшей степенью целое число п такое, что / лежит в £/„ и не лежит в £4+1 (для кольца обычных рядов Лорана младшая степень совпадает со степенью младшего члена). Иногда будет удобно считать, что младшая степень нуля равна плюс бесконечности. Младшая степень определена единственным образом. Элементы с младшей степенью 0 — это в точности все элементы из £4 с