Доставка любой диссертации в формате PDF и WORD за 499 руб. на e-mail - 20 мин. 800 000 наименований диссертаций и авторефератов. Все авторефераты диссертаций - БЕСПЛАТНО
Логинова, Елена Давидовна
01.01.06
Кандидатская
2003
Иваново
127 с. : ил
Стоимость:
499 руб.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
ГЛАВА I. Аппроксимируемость свободных произведений с коммутирующими и централизованными подгруппами § 1. Аппроксимируемость свободного произведения двух групп с объединенными подгруппами § 2. Аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами § 3. Аппроксимируемость свободного произведения двух групп с централизованными подгруппами
ГЛАВА II. Финитная отделимость подгрупп свободных произведений с коммутирующими и централизованными подгруппами
§4. Предварительные замечания. Формулировка результатов § 5. Отделимость циклических подгрупп свободных произведений с коммутирующими и централизованными подгруппами
§ 6. Отделимость конечно порожденных подгрупп свободного произведения с централизованными подгруппами двух конечно порожденных абелевых групп
ГЛАВА III. Финитная аппроксимируемость относительно сопряженности свободных произведений с коммутирующими и централизованными подгруппами § 7. Формулировка результатов. Контрпример § 8. Сопряженность элементов свободного произведения групп с объединенными подгруппами § 9. Сопряженность элементов свободного произведения групп с коммутирующими центральными подгруппами
10. Доказательство теоремы
11. Доказательство теоремы
Литература
Введение
Группа (7 называется финитно аппроксимируемой, если для любого ее неединичного элемента д можно указать такой гомоморфизм <р группы С? в некоторую конечную группу, при котором образ дц> элемента д отличен от единицы. Как свидетельствуют авторы книги [13], понятие финитно аппроксимируемой группы сформировалось к концу 30-х годов прошлого века. Термин “финитная аппроксимируемость” был введен Ф. Холлом в 1955 году, но понятие финитно аппроксимируемой группы фактически присутствует уже в статье А. И. Мальцева [5] 1940 года. Эта работа, как следует из [13], является первой публикацией, где встречаются финитно аппроксимируемые группы, и именно в этой работе доказаны известные теоремы А. И. Мальцева о финитной аппроксимируемости конечно порожденных матричных групп (над произвольным полем) и о хопфовости конечно порожденных финитно аппроксимируемых групп.
Одним из заметных направлений в изучении финитно аппроксимируемых групп является исследование поведения свойства финитной аппроксимируемости относительно тех или иных конструкций групп. Прямое произведение двух финитно аппроксимируемых групп является, очевидно, финитно аппроксимируемой группой. Для полу-прямого произведения это уже, вообще говоря, не так, и достаточное условие финитной аппроксимируемости полупрямого произведения финитно аппроксимируемых групп было получено А. И. Мальцевым [6]. В работе К. Грюнберга [18] доказано, что свободное произведение финитно аппроксимируемых групп является финитно аппроксимируемой группой.
В отличие от обычного свободного произведения, свободное произведение с объединенными подгруппами двух финитно аппроксимируемых групп далеко не всегда является финитно аппроксимируемой группой, и в течение последних четырех десятилетий ведутся достаточно интенсивные исследования по нахождению условий, накладываемых на перемножаемые группы и (или) объединяемые подгруппы
и гарантирующих финитную аппроксимируемость соответствующей группы. Началом систематических исследований в этом направлении следует считать работу Г. Баумслага [16]. В этой работе, в частности, указано весьма общее достаточное условие финитной аппроксимируемости свободного произведения двух групп с объединенными подгруппами (см. ниже предложение 1.4), опирающееся на доказанное там же утверждение о финитной аппроксимируемости свободного произведения с объединенными подгруппами двух конечных групп. Тем не менее, это условие не является необходимым, и в настоящее время можно со значительной степенью уверенности утверждать, что простых необходимых и достаточных условий здесь не существует. Следует отметить также, что доказательства практически всех известных результатов о финитной аппроксимируемости свободных произведений с объединенными подгруппами используют идеи работы [16] и упомянутое достаточное условие.
Наряду с финитной аппроксимируемостью групп широко изучаются различные обобщения этого понятия, причем эти обобщения идут, главным образом, в следующих двух направлениях. С одной стороны, рассматривают аппроксимируемость данной группы в некоторых классах групп, отличных от класса всех конечных групп (например, в классе конечных р-групп или в классе нильпотентных групп). С другой стороны, можно говорить об аппроксимируемости группы относительно некоторого отношения (или предиката) между элементами и подмножествами группы. Здесь, в основном, рассматривают отношение сопряженности элементов и отношение принадлежности элемента подгруппе. (Таким образом, с этой, более общей точки зрения финитная аппроксимируемость — это аппроксимируемость в классе всех конечных групп относительно предиката равенства.)
Поведение некоторых из упомянутых обобщений финитной аппроксимируемости относительно различных теоретико-групповых конструкций также привлекало внимание ряда авторов. Так, в уже
XiTi ф VS/S. Следовательно, (3) является несократимой записью элемента дрх группы
Gx = (М/ЛЛ * N/Sx; URx/Rx = VSx/Sx,
Закончим этот параграф двумя полезными замечаниями. Первое из них дает простое достаточное условие аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения с объединенной подгруппой двух конечных р-групп, вытекающее из теоремы Хигмена (см. предложение 1.5). Второе доставляет достаточный признак (£7, V, <р,р)-совместимости пары подгрупп.
Предложение 1.10. Пусть М и N — конечные р-группы, U ^ М, V ^ N и ip : U -> V — изоморфизм. Предположим, что подгруппа V выделяется в группе N прямым множителем, т. е. N — V х Т для некоторой ее подгруппы Т. Тогда группа
G — (М * /V; U = V, <р)
аппроксимируема конечными р-группами.
Доказательство. Пусть
1 = Mo ^ Мх ^ ^ Мг = М
— произвольный главный ряд группы М и пусть Si = (U С Mi) <р (i — 0,1,... г). Возьмем еще какой-либо главный ряд
Название работы | Автор | Дата защиты |
---|---|---|
Структурная теория и подгруппы групп Шевалле над кольцами | Степанов, Алексей Владимирович | 2014 |
Рациональность и унирациональность многообразий Фано над незамкнутыми полями | Зак, Николай Федорович | 2007 |
Вложения конечных групп с нетривиальным центром в бесконечные группы | Дуж, Анна Александровна | 2013 |