Аппроксимационные свойства свободных произведений групп с коммутирующими и централизованными подгруппами

• Автор: Логинова, Елена Давидовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Иваново
• Количество страниц: 127 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
ГЛАВА I. Аппроксимируемость свободных произведений с коммутирующими и централизованными подгруппами § 1. Аппроксимируемость свободного произведения двух групп с объединенными подгруппами § 2. Аппроксимируемость свободного произведения двух групп с коммутирующими подгруппами § 3. Аппроксимируемость свободного произведения двух групп с централизованными подгруппами
ГЛАВА II. Финитная отделимость подгрупп свободных произведений с коммутирующими и централизованными подгруппами
§4. Предварительные замечания. Формулировка результатов § 5. Отделимость циклических подгрупп свободных произведений с коммутирующими и централизованными подгруппами
§ 6. Отделимость конечно порожденных подгрупп свободного произведения с централизованными подгруппами двух конечно порожденных абелевых групп
ГЛАВА III. Финитная аппроксимируемость относительно сопряженности свободных произведений с коммутирующими и централизованными подгруппами § 7. Формулировка результатов. Контрпример § 8. Сопряженность элементов свободного произведения групп с объединенными подгруппами § 9. Сопряженность элементов свободного произведения групп с коммутирующими центральными подгруппами
10. Доказательство теоремы
11. Доказательство теоремы
Литература

Введение
Группа (7 называется финитно аппроксимируемой, если для любого ее неединичного элемента д можно указать такой гомоморфизм <р группы С? в некоторую конечную группу, при котором образ дц> элемента д отличен от единицы. Как свидетельствуют авторы книги [13], понятие финитно аппроксимируемой группы сформировалось к концу 30-х годов прошлого века. Термин “финитная аппроксимируемость” был введен Ф. Холлом в 1955 году, но понятие финитно аппроксимируемой группы фактически присутствует уже в статье А. И. Мальцева [5] 1940 года. Эта работа, как следует из [13], является первой публикацией, где встречаются финитно аппроксимируемые группы, и именно в этой работе доказаны известные теоремы А. И. Мальцева о финитной аппроксимируемости конечно порожденных матричных групп (над произвольным полем) и о хопфовости конечно порожденных финитно аппроксимируемых групп.
Одним из заметных направлений в изучении финитно аппроксимируемых групп является исследование поведения свойства финитной аппроксимируемости относительно тех или иных конструкций групп. Прямое произведение двух финитно аппроксимируемых групп является, очевидно, финитно аппроксимируемой группой. Для полу-прямого произведения это уже, вообще говоря, не так, и достаточное условие финитной аппроксимируемости полупрямого произведения финитно аппроксимируемых групп было получено А. И. Мальцевым [6]. В работе К. Грюнберга [18] доказано, что свободное произведение финитно аппроксимируемых групп является финитно аппроксимируемой группой.
В отличие от обычного свободного произведения, свободное произведение с объединенными подгруппами двух финитно аппроксимируемых групп далеко не всегда является финитно аппроксимируемой группой, и в течение последних четырех десятилетий ведутся достаточно интенсивные исследования по нахождению условий, накладываемых на перемножаемые группы и (или) объединяемые подгруппы

и гарантирующих финитную аппроксимируемость соответствующей группы. Началом систематических исследований в этом направлении следует считать работу Г. Баумслага [16]. В этой работе, в частности, указано весьма общее достаточное условие финитной аппроксимируемости свободного произведения двух групп с объединенными подгруппами (см. ниже предложение 1.4), опирающееся на доказанное там же утверждение о финитной аппроксимируемости свободного произведения с объединенными подгруппами двух конечных групп. Тем не менее, это условие не является необходимым, и в настоящее время можно со значительной степенью уверенности утверждать, что простых необходимых и достаточных условий здесь не существует. Следует отметить также, что доказательства практически всех известных результатов о финитной аппроксимируемости свободных произведений с объединенными подгруппами используют идеи работы [16] и упомянутое достаточное условие.
Наряду с финитной аппроксимируемостью групп широко изучаются различные обобщения этого понятия, причем эти обобщения идут, главным образом, в следующих двух направлениях. С одной стороны, рассматривают аппроксимируемость данной группы в некоторых классах групп, отличных от класса всех конечных групп (например, в классе конечных р-групп или в классе нильпотентных групп). С другой стороны, можно говорить об аппроксимируемости группы относительно некоторого отношения (или предиката) между элементами и подмножествами группы. Здесь, в основном, рассматривают отношение сопряженности элементов и отношение принадлежности элемента подгруппе. (Таким образом, с этой, более общей точки зрения финитная аппроксимируемость — это аппроксимируемость в классе всех конечных групп относительно предиката равенства.)
Поведение некоторых из упомянутых обобщений финитной аппроксимируемости относительно различных теоретико-групповых конструкций также привлекало внимание ряда авторов. Так, в уже

XiTi ф VS/S. Следовательно, (3) является несократимой записью элемента дрх группы
Gx = (М/ЛЛ * N/Sx; URx/Rx = VSx/Sx, a потому 3/9Л является неединичным элементом этой группы. Как и в первом случае, пользуясь тем, что группа Gх аппроксимируема конечными р-группами, найдем гомоморфизм 9 этой группы в некоторую конечную р-группу X, образ элемента дрх относительно которого отличен от 1. Очевидно, что тогда гомоморфизм рхв является искомым. Предложение доказано.
Закончим этот параграф двумя полезными замечаниями. Первое из них дает простое достаточное условие аппроксимируемости конечными р-группами свободного произведения с объединенной подгруппой двух конечных р-групп, вытекающее из теоремы Хигмена (см. предложение 1.5). Второе доставляет достаточный признак (£7, V, <р,р)-совместимости пары подгрупп.
Предложение 1.10. Пусть М и N — конечные р-группы, U ^ М, V ^ N и ip : U -> V — изоморфизм. Предположим, что подгруппа V выделяется в группе N прямым множителем, т. е. N — V х Т для некоторой ее подгруппы Т. Тогда группа
G — (М * /V; U = V, <р)
аппроксимируема конечными р-группами.
Доказательство. Пусть
1 = Mo ^ Мх ^ ^ Мг = М
— произвольный главный ряд группы М и пусть Si = (U С Mi) <р (i — 0,1,... г). Возьмем еще какой-либо главный ряд