Топология слоения Лиувилля для новых интегрируемых случаев на алгебре Ли so(4)

• Автор: Хагигатдуст, Бонаб Горбанали
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с. : ил.

1 Основные определения и постановка задачи
1.1 Уравнения Эйлера на алгебре Ли
1.2 Описание новых интегрируемых случаев на алгебре ао(4)
1.3 Изоэнергетические поверхности
1.4 Отображение момента
2 Топология изоэнергетических поверхностей
2.1 Бифуркации гамильтонианов и инвариантов алгебры Ли ао(4)

2.1.1 Бифуркационные диаграммы для класса гамильтонианов /7„дс
2.2 Индексы критических точек
2.2.1 Критические точки гамильтониана случая Соколова и их индексы
2.2.2 Критические точки гамильтониана случая Борисова-Мамаева
и их индексы
2.3 Топология изоэнергетических поверхностей
2.3.1 Постановка задачи
2.3.2 Описание изоэнергетических поверхностей для гамильтониана случая Соколова
3 Бифуркационные диаграммы отображения момента для слу-
^ чая Соколова

3.1 Критические точки ранга нуль
3.2 Бифуркационная диаграмма отображения момента Н X К * в случае, когда интеграл обобщенной постоянной площади
принимает нулевое значение
3.3 Бифуркационная диаграмма отображения момента Н X К для произвольного значения обобщенной постоянной площадей д
4 Топологический анализ интегрируемого случая Соколова
4.1 Тип критических точек ранга нуль
4.2 Слоение на критические окружности в прообразе бифуркационных кривых
4.2.1 Прообраз бифуркационных кривых, составляющих бифуркационную диаграмму
р. 4.3 Перестройки Лиувиллевых торов
4.4 Грубая топологическая классификация изоэнергетических поверхностей
Литература

Актуальность темы. Задача о движении твердого тела вокруг непо-

движной точки занимает исключительное место в динамике. В этой области работали такие выдающиеся ученые, как JT.Эйлер, Ж.Лагранж, С. Пуассон, Ж.Лиувилль, К.Якоби, Г.Дарбу и многие другие. Важные результаты в этой области были получены русскими учеными С.В.Ковалевской,
Н.Е.Жуковским, С.А.Чаплыгиным, В.А.Стекловым, А.М. Ляпуновым и ДРОсновные их достижения относятся к концу 19-го и началу 20-го века. В настоящее время по-прежнему не ослабевает интерес к этой задаче, так как разработаны современные методы для явного интегрирования уравнений и их топологического анализа (см. [1], [5], [9), [12], [18], [20]).
Задача о движении твердого тела привлекала внимание крупнейших ма-^ тематиков. Дело в том, что движение тела описывается системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, так называемыми уранениями Эйлера-Пуассона, для которой известны только три общих интеграла. Кроме того, Якоби доказана теорема, которая показывает, что для сведения задачи к квадратурам достаточно найти еще один новый первый интеграл, не зависящий от времени. На поиск этого дополнительного интеграла потрачено немало сил. В некоторых специальных случаях удалось найти дополнительный интеграл, но до сих пор исследования в этом направлении продолжаются.
Наглядное представление о движении твердого тела с помощью решений уравнений Эйлера-Пуассона оказалось трудным, так как эти решения обычно выражаются достоточно сложно. Поэтому большое значение имеет 4- качественное исследование задачи о движении твердого тела.

, где 53 + Д3 = 1, 53Д3 = д. Эти точки при отображении Н х К проектируются в точку (0,0) на плоскости Ж2(/г, к).

Р = (0,52,0,ДЬД2,0)
, где Д | = — ^52 + ^2 = у|,У7 и 5’| + Д2+ Д2 = 1- Образы этих двух
точек являются концевыми точками параболы Р бифуркационной диаграммы Е^,*.
5. В случае д > появляются еще следующие точки:
Р = (0, 52, 53,2а52, Д2, Дз)
, 522 = (2а2 + 1)522 + 532 = | , Д2 = , Дз = <^<7Образы этих точек при отображении момента Н X К- это точка пересечения горизонтального отрезка II с отрезком £2 бифуркационной диаграммы Еь,к-

Р — (5ь О, О, Д1; Д2,0)
, где Д2 = —а52 + 2§~ ’ Д' = и 52 + Д2 + Д2 = 1- Образы этих двух точек являются концевыми точками параболы Р2 бифуркационной диаграммы Еь,к5. В случае д > ц^а2) появляются еще следующие точки:
Р = (5ь0,5з,Дь-5ьДз) а
где 5? = ^31, (А + 1)52 + 5| = 1 } , Дз =
Образы этих точек при отображении момента Н х К - это точка пересечения горизонтального отрезка Ь с отрезком Р2 бифуркационной диаграммы Еь,к-