Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического, псевдогиперболического и смешанного типов

• Автор: Кириченко, Светлана Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 126 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Краевые задачи с нелокальными условиями для гиперболических уравнений и уравнений смешанного

1.1. Нелокальная задача с интегральным условием первого рода
1.2 Нелокальная задача с интегральными условиями второго рода
1.3 Нелокальная задача с интегральными условиями первого рода
1.4 Нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа
Глава 2. Задачи с нелокальными по пространственным переменным условиями для гиперболического и псевдоги-перболического уравнения
2.1 Задача с нелокальным интегральным условием второго рода для гиперболического уравнения
2.2 Нелокальная задача для псевдогинерболического уравнения в цилиндре
2.3 Нелокальная задача для нсевдогиперболического уравнения в параллелепипеде
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, бурно развивающимся в последнее время, является теория нелокальных задач. Их исследование вызвано не только теоретическими интересами, но и практической необходимостью. При математическом моделировании различных процессов физики, биологии, химии, экологии и многих других явлений возникают задачи, в которых вместо классических условий задана определенная связь значений искомой функции на границе области и внутри нее. Задачи с условиями такого типа называются нелокальными.
Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались многими авторами. Отметим работы Стеклова В.А. [83], Самарского A.A. [б, 81], Бицадзе A.B. [5, 6], Гущина А.К. [17], Михайлова В.П. [17, 55], Ильина В.А. [21], Моисеева Е.И. [21, 56], Жегалова В.И. (19, 20], Нахушева А.М. [59, 61], Скубачевского А.Л. [82], Кожанова А.И. [39, 40, 41], Репина O.A. [77], Сабитова К.В. [79, 80].
Исследования показали, что присутствие нелокальных условий вызывает ряд специфических трудностей, которые не позволяют использовать для доказательства разрешимости нелокальных задач стандартные методы, обычно применяемые при изучении начально-краевых задач [22, 73]. Поэтому вопрос разработки методов исследования нелокальных задач является весьма актуальным.

Большой интерес среди нелокальных задач представляют задачи с нелокальными интегральными условиями. Такие условия могут возникать в ситуациях, когда граница области протекания реального процесса недоступна для непосредственных измерений, но можно получить некоторую дополнительную информацию об изучаемом явлении во внутренних точках области. Часто такая информация поступает в виде некоторых средних значений искомого решения. При математическом моделировании такую информацию удобно представить в виде интеграла.
Нелокальным задачам с интегральными условиями последние годы уделяется пристальное внимание. Краевые задачи с такими условиями встречаются во многих приложениях. К нелокальным задачам с интегральными условиями приходят при изучении явлений, происходящих в плазме [81], процессов распространения тепла [1, 22, 23, 90], некоторых технологических процессов [57], процессов влагопереноса в пористых средах [60, 10], в задачах математической биологии при описании динамики численности популяции особей [61], в задачах демографии [4], а также при исследовании некоторых обратных задач математической физики [24, 25].
Нелокальные задачи с интегральными условиями ставились и изучались для различных дифференциальных уравнений. Систематическое исследование нелокальных задач с интегральными условиями для уравнений с частными производными началось в 60-х годах 20 века со статей Дж.Р.Кэниона (J.R. Cannon,[90]) и Л.й. Камынина [23]. J.R. Cannon в работе [90] рассматривает задачу с

І Т І
= J v(x, 0)g(x)dx H- J J f(x,t)vdxdt,
0 0 0 то есть u(x,t) удовлетворяет тождеству (1.8). Будучи решением задачи 1.2.(а), функция u(x,t) удовлетворяет и условиям (1.2), (1.3). Таким образом, теорема 1.2 полностью доказана.
Теперь мы можем доказать разрешимость задачи 1.1.
Теорема 1.2.1. Если выполнены условия теоремы 1.2 и кроме

того <р(х) G W2(0,l)U W2 {0,1), ct(x,t) Є C(Qt), то для іі.в. (х, t) Є Є Qt существует решение задачи 1.1.
Доказательство. Пусть u(x,t) — решение задачи 1.2(а). Покажем, что при выполнении условий теоремы 1.2.1 это решение принадлежит пространству W^Qt)- Мы опять можем воспользоваться известным для более общего уравнения результатом, утверждающим, что при сформулированных условиях решение первой начально-краевой задачи имеет производные гщ, uxt G L2{Qt) ([49], с.216). Покажем, что существует и ихх G L2(Qt). Тождество, определяющее обобщенное решение задачи 1.2 (а) запишем так:
ТІ ТІ
J J(uttv + uxvx + c{x,t)uv)dxdt — J J f(x,t)vdxdt. (1-18) 0 0 0

Выберем v(x,t) = Ф(і)И(х), где Ф(і) Є С[0,Т, V(x) EW2 (0,1). Тогда тождество (1.18) можно записать следующим образом: ті ті
J Ф(і) J(uttV + uxVx + c(x,t)uV)dxdt = J Ф(і) j f(x,t)Vdxdt,