Задача Коши для эллиптических уравнений, порождаемых оператором Лапласа в комплексном пространстве

• Автор: Шалагинов, Сергей Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Тюмень
• Количество страниц: 65 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Задача Коши для уравнений Лапласа и Пуассона
в комплексном пространстве
1.1. Уравнение Лапласа в трёхмерном пространстве
1.2. Уравнение Лапласа в пространстве произвольной размерности
1.3. Уравнение Пуассона
Глава 2. Задача Коши для эллиптического уравнения, порождаемого
линейной комбинацией степеней оператора Лапласа
Глава 3. Задача Коши для полигармонического и
полиметагармонического уравнений
3.1. Полигармоническое уравнение
3.2. Полиметагармоническое уравнение
Библиографический список использованной литературы
ВВЕДЕНИЕ
Поиск решений дифференциальных уравнений с частными производными второго и более высоких порядков всегда находился в сфере повышенных интересов многих выдающихся математиков на протяжении уже не одного столетия. Так, классические уравнения математической физики рассматривались ещё в восемнадцатом веке.
Как практические, так и теоретические потребности приводили исследователей к необходимости нахождения таких решений, которые удовлетворяли бы ещё тем или иным дополнительным условиям. Эти условия известны теперь как начальные и краевые условия, а задачи, связанные с ними - как задача Коши, задача Дирихле и др.
В работах Адамара начала двадцатого века было введено понятие корректности (и некорректности) постановки задачи Коши (распространённое впоследствии и на другие краевые задачи) для уравнений с частными производными. Как оказалось, для каждого типа уравнений существуют свои корректно поставленные задачи (см., напр., [11], [17]).
Так, для классического уравнения Лапласа в вещественном пространстве
11П постановка задачи Дирихле является корректной.
Этого нельзя сказать о задаче Коши. В частности, как показывает известный пример Адамара [17], решение задачи Коши для уравнения Лапласа единственно, но неустойчиво.
Для того, чтобы постановка задачи Коши была корректной, необходимо сузить класс рассматриваемых решений уравнения Лапласа. Таким сужением может служить класс равномерно ограниченных решений. При таком предположении оценки, характеризующие устойчивость решения задачи Коши, впервые были получены М.М.Лаврентьевым для произвольной пространственной области с достаточно гладкой границей [12]. Аналогичные оценки были получены С.Н.Мергеляном для функций внутри сферы [16]. На случай произвольного эллиптического уравнения решение вопроса об
устойчивости пространственной задачи Коши было распространено Е.М.Ландисом [13].
В 30-е гг. двадцатого века в работах ряда математиков (см. об этом [11]) появляются простейшие дифференциальные уравнения с комплексными переменными. Это связано, прежде всего, с началом широкого применения в изучении вещественных дифференциальных уравнений методов теории функций комплексного переменного.
Особо следует отметить труды И.Н.Векуа [7], [8], в которых применение таких методов привело к созданию аналитической теории эллиптических уравнений и систем с двумя независимыми переменными.
Весьма плодотворным применение аппарата теории функций одного и многих комплексных переменных оказалось и в более сложном случае многомерных уравнений. Глубокие результаты, полученные здесь, связаны, прежде всего, с именами А.В.Бицадзе [4], [5], И.Н.Векуа [7], [8], З.И.Халилова [22], а также С.Бергмана [1], [39], Л.Берса [40], П. Гарабедяна [41], [42], Г.Леви [43] и др.
В связи с этим возникает самостоятельный интерес к собственно комплексным дифференциальным уравнениям.
Первоначальной работой здесь является, по-видимому, статья А.ИЛнушаускаса [31], в которой им рассматривалось уравнение Лапласа с тремя комплексными переменными. Для решения этого уравнения получено интегральное представление через голоморфные функции двух комплексных переменных. При этом оказалось, что, в отличие от вещественного случая, задача Коши в случае комплексного уравнения Лапласа является корректной.
Вполне естественным развитием теории комплексных дифференциальных уравнений представляется рассмотрение задачи Коши для более общих эллиптических уравнений (как в отношении их порядка, так и в отношении количества переменных). Основы аналитической теории таких уравнений по состоянию на 1979 год были систематизированы А.И.Янушаускасом в его монографии [34].
(1.46)
гдеУ4(ЛГ,г) = 1(-1)'
(2т+ 1)!
(1.25), удовлетворяющим начальным условиям
А%(Х) и является решением уравнения
V, I =0,
к |г=0 ’

= КУХ).
Воспользовавшись формулой (1.30), имеем

|у.)= 1 Г|4г-г)‘/|,4.

2 2 Л

УК -х))
<Зтс1^...Жп. (1.47)
Подставляя (1.47) в (1.44), получим ещё одно представление решения задачи (1.31), (1.32)
(г у 7)= - Г)

Замечание 1.3. Формула (1.48) является фактически представлением Дюамеля, выражающим решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (уравнение Пуассона в данном случае) через решение соответствующего однородного уравнения (уравнение Лапласа).
Этот факт можно трактовать как обоснование возможности использовать классический принцип Дюамеля в случае комплексных уравнений.