Экстремальные и спектральные свойства решений задач Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения

• Автор: Кучкарова, Айгуль Наилевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 103 с.

Содержание
Введение
1. Экстремальные свойства решений задач Геллерстедта для общих линейных уравнений смешанного типа
§ 1.1. Постановка задач Сд и
§ 1.2. Экстремальные свойства решений в области эллиптичности
§ 1.3. Экстремальные свойства решений в области гиперболичности
§ 1.4. Принцип экстремума в классе регулярных решений
§ 1.5.Принцип экстремума в классе обобщенных решений
§1.6. Примеры
§ 1.7.06 условной разрешимости задач 6д и 0%
§1.8. Задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева — Бицадзе
§ 1.9. Метод вспомогательных функций
2. Спектральные свойства решений задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева - Бицадзе и их применения 62 § 2.1. Построение системы собственных функций и исследование
на полноту
§ 2.2. Построение решения задачи Геллерстедта для уравнения
с оператором Лаврентьева - Бицадзе

§2.3. Решение задачи Геллерстедта для уравнения Лаврентьева - Бицадзе с комплексным параметром
§ 2.4. Пространственная задача Геллерстедта для уравнения
смешанного типа
3. Спектральные свойства решений задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа со степенным вырождением
§ 3.1.Построение системы собственных функций
§ 3.2. Исследование системы собственных функций на полноту .
Литература

Введение
Теория краевых задай для уравнений смешанного типа, в силу своей прикладной и теоретической значимости, является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Первыми исследованиями в этой области явились работы Ф. Трико-ми [72, 73], результаты которого обобщались в работах С. Геллерстедта [81, 82]. Они изучали краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной линией изменения типа, известные в литературе как ’’задача Трикоми” и ’’задача Геллерстедта”.
В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль, A.B. Бицадзе, К.И. Бабенко, S. AgmoB, L. Nirenberg, M.N. Frotter, O.S. Morawetz, P. Germain, R. Bader, P.O. Lax, R.P. Phillips, M. Schneider, Б.А. Бубнов, В.Ф. Волкодавов, В.H. Врагов, Т.Д. Джураев, В.Н. Диденко, В.А. Елеев, В.И. Же-галов, А.Н. Зарубин, Т.Ш. Калъменов, Г.Д. Каратопраклиев, И.Л. Кароль, А.И. Кожанов, Ю.М. Крикунов, А.Г. Кузьмин, O.A. Ладыженская, Е.И. Моисеев, А.М. Нахушев, С.М. Пономарев, С.П. Пулькин, O.A. Репин, К.Б. Сабитов, М.С. Салахитдинов, М.М. Смирнов, А.П. Солдатов, P.C. Хайруллин, Хе Кан Чер, Л.И. Чибрикова, В.Н. Бурмистров и другие. В этих работах нарядз^ с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.
Задачей Геллерстедта для уравнений смешанного типа занимались Ф.И. Франкль [75], М.А. Лаврентьев, A.B. Бицадзе [5, 37], C.S. Morawetz [85], A.M. Нахушев [48], В.Ф. Волкодавов, М.Е. Лернер [11], С.С. Исаму-хамедов [18], Хе Кан Чер [77, 79], Т.Ш. Кадьменов [20], М.М. Смирнов [70], В.И. Жегалов [15], Е.И. Моисеев [44, 45], Т.Д. Джураев, Ю.П. Апа-

иметь
Л: = Ьг> — Ьи >0 в Во и Л[ и Лг,
Аа^Сх = ^|а2с2 = 0, г|г = (у - и)г < 0.
Тогда в силу следствия 1.2 а) г < 0 в Д или у < и в области Л.
Случай б) доказывается аналогично.
Замечание 1.3. В работах [41, 42] доказан аналог неравенства Чаплыгина для задачи Трикоми исходя из явных формул решений задач Хольмгрена и Дарбу.
§ 1.5. Принцип экстремума в классе обобщенных решений
Определение 1.4. Обобщенным из класса 0(О) [(^(Л)] решением уравнения (1.1) будем называть функцию и(х,у), если существует последоват.елъност.ь регулярных решений {ир(х,у)} уравнения (1.1) из ДДЛ) [Д?2(Л)], равномерно сходящаяся к и(х,у) в замкнутой облает,и Л.
Утверждения о принципе экстремума, полученные в § 1.4, переносятся в класс обобщенных решений уравнения (1.1). Соответствующие теоремы обозначим через т. 1.3. и т. 1.4.
Докажем теорему 1.4. Пусть выполнено условие а), щах Ых, у) =
_ __ _р
1И(Ф)| = М > 0, и допустим, что С) ф Г. Тогда ф £ Л Г. Обозначим через Е = {(г, у) £ Л Г : |п(х, у)| = М} . Множество Е замкнуто и не имеет общих точек с кривой Г. Поскольку множества Г и Л замкнуты, ограничены и не имеют общих точек, то расстояние между ними больше нуля. Поэтому существует простая кривая 6, лежащая в области Лд, с концами в точках А1 и А%, такая, что 6 П Е = 0 и Е С Л$, где Л г — область, ограниченная кривой 6 и АС, СЕ, ЕСч и С2А4. Так как и(х,у) — обобщенное из 6)1(0) решение уравнения (1.1), равное нулю на АС С А>Сч- то существует последовательность регулярных из ЛДЛ)