Влияние запаздывания на периодические колебания в консервативных системах

• Автор: Захаров, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 118 с. : ил.

1 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМАХ С МАЛЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
1.1 Существование периодических решений
1.2 Устойчивость периодических решений
1.3 Численный эксперимент
2 ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ С ПОСТОЯННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
2.1 Постановка и обсуждение задачи
2.2 Асимптотика периодических решений консервативной системы с малыми амплитудами
2.3 Устойчивость квазигармонического дифференциального уравнения с запаздыванием
2.4 Асимптотические свойства периодических решений
2.5 Устойчивость периодических решений
3 ВЛИЯНИЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ НА ДВИЖЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ЧАСТИЦЫ В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ
3.1 Математическая модель
3.2 Исследование устойчивости положений равновесия системы функционально-дифференциальных уравнений
3.3 Существование периодических решений системы функционально-дифференциальных уравнений при малых значениях параметра 5
3.4 Существование периодических решений системы функциональнодифференциальных уравнений при малых значениях параметра Н
3.5 Численное исследование поведения решений
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

История вопроса. Теория нелинейных периодических колебаний дифференциальных уравнений с запаздыванием играет важную роль в исследовании математических моделей динамических систем с последействием. Существенный вклад в ее развитие внесли Ю.Г. Борисович [8], В.Б. Колмановский [52, 119], Ю.С. Колесов [51], М.А. Красносельский [47, 55], Ю.И. Митропольский [64], В.И. Рожков [74], В.П. Ру-баник [75], Ю.А. Рябов [76], С.Н. Шиманов [22, 23, 87, 88], А. Халанай [95], S. Chow [104], J.K. Hale [96, 117], J. Mallet-Paret[104], Для дифференциальных уравнений с запаздыванием получили развитие известные методы теории нелинейных колебаний: Ляпунова-Пуанкаре, усреднения, бифуркации Андронова-Хопфа, векторных полей. Особое внимание уделялось изучению дифференциальных уравнений с малым запаздыванием. В работах М.А. Красносельского [47], Д.А. Взовского [11], P.P. Ахмерова [5], В.И. Кузнецовой [56], С.Н. Шимаиова [22], A.B. Курныша [57], Х.Р. Латипова и Ф.У. Носирова [60], В.В. Матросова [63], Ю.Ф. Долгого [19], С.В. Богатовой [6, 7], Е. Fridman [110], D.W. Luse [124] показано, что введение малого запаздывания в систему дифференциальных уравнений может существенно изменить качественную картину поведения ее решений. Вопросы существования и устойчивости периодических решений наиболее разработаны для дифференциальных уравнений второго порядка. Здесь можно отметить работы: К.Г. Молловой [67, 68], А.Ю. Коломийца [53], Д.С. Кащенко [44, 45], А.Ю. Колесова [48-50], Н.Х. Розова [48], Л.З. Фишмана [93, 94], D.E. Gilsinn [112], Z. Guo, Y. Xu [116, 131], S. Lu, W. Ge [123], S. Ma, Q. Lu [125], T. Furumochi [111], G. Metzen [126], K. Wen, P. Chen, J.S. Turnes [133], F.G. Boese [101], B. Zhang [136].
Объект исследования и основные результаты. В консервативной системе с одной степенью свободы, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением

-^- + /(я)=0, х 6 (-а, а), (0.1)
где / - непрерывная нечетная функция на интервале (—а, а), f(x) > 0 при х £ (0, а), существует однопараметрическое семейство периодических решений, период которых зависит от начальных условий. В работах Л.С. Понтрягина [73], А.М. Каца [43], И.Г. Малкина [61], В.Н. Тхая [80, 82] установлено, что малые неконсервативные возмущения консервативной системы могут привести к распаду семейства периодических решений и появлению устойчивых предельных циклов. В настоящей работе возмущающим фактором для уравнения (0.1) является запаздывание. Показано, что его введение в описание математической модели консервативной системы также может привести к распаду семейства периодических решений и появлению устойчивых предельных циклов.
В первой главе консервативная система возмущается малым запаздыванием. Исследованию дифференциальных уравнений с малым запаздыванием посвящено боль-

шое количество научных работ [5-7,19, 47, 56, 57, 63, 68, 83, 110], в которых изучались также и периодические решения. Специфика настоящей постановки связана с возмущением существенно нелинейных систем и учетом свойств симметрии периодических решений невозмущеннон системы. Она непосредственно примыкает к постановкам задач в работах J1.C. Понтрягина [73], А.М. Каца [43], И.Г. Малкина [61], В.Н. Тхая [81], но здесь роль неконсервативного возмущения играет запаздывание. Для решения указанной задачи используется метод вспомогательных систем С.Н. Шиманова [16, 89] в теории Ляпунова-Пуанкаре для систем с запаздыванием. Используя идеи работ И.Г. Малкина [62] для обыкновенных дифференциальных уравнений, удается конкретизировать вид функции Q, задающей уравнение разветвления, и сформулировать конструктивное условие существования периодических решений. Реализация в задаче устойчивости периодического решения метода подсчета характеристического показателя в форме разложения по малому параметру осложняется существенной нестациоиарностью невозмущенного уравнения. Связанные с этим обстоятельством трудности удается преодолеть, учитывая свойства симметрий решений консервативной системы.
Во второй главе возмущение моделируется конечным запаздыванием и ставится задача нахождения периодического решения дифференциального уравнения, период которого совпадает с запаздыванием, с последующим исследованием его устойчивости. Она принадлежит классу задач о периодических решениях с периодами кратными запаздыванию, которые изучались-в работах В.И. Зубова [37], J.L. Kaplan, J.A. Yorke [120]. Значительные трудности возникают здесь при исследовании устойчивости периодических решений с конечными амплитудами. Используя известные результаты Г.Л. Гасилова [12], А.М. Зверкина [36], С.Н. Шиманова [87], Ю.Ф. Долгого [17], эту задачу можно свести к оценке расположения собственных чисел краевой задачи для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с существенно переменными коэффициентами. Для преодоления возникающих трудностей в работе предложен метод изучения движения собственных чисел краевой задачи по комплексной плоскости при изменении специального параметра в коэффициентах системы обыкновенных дифференциальных уравнений. На этом пути удалось свести задачу устойчивости к изучению бифуркаций собственных чисел z краевой задачи в точках г = 1 и г = -1. Применение методов теории возмущений [42], теории самосопряженных краевых задач [69, 98] и учет симметрий, присущих решениям консервативных систем [62, 66], позволило изучить направление движения собственных чисел краевой задачи в малых окрестностях отмеченных точек z — 1 и z = —1. Опираясь на эти результаты, удалось получить достаточные условия устойчивости периодических решений, которые тестировались на конкретных уравнениях с запаздыванием.
В третьей главе изучается влияние запаздывания на движение релятивистской частицы в кулоновском поле. Различные вопросы, связанные с учетом последействия при движении частиц в электромагнитном поле изучались в работах [2, 13, 25, 26, 71, 85, 99, 3, 102, 103, 107, 108, 118, 128-130, 138]. Особое внимание уделялось нахождению специальных круговых орбит [38-40, 84]. В настоящей работе изучаемая математическая модель рассматривается как возмущенная для модели движения релятивистской частицы в кулоновском поле. Показано, что введение запаздывания приводит к появлению изолированных неустойчивых периодических решений и уничтожению семейства почти периодических решений невозмущенной системы.

где со, с_2 - произвольные комплексные числа. С учетом полученных результатов перепишем уравнение (2.41):
й 1 + 2шх - (4гс_2е_2!8 - 2(г - 7гао2)/а1)(со + с_2е_2”))А1 = 0. (2-43)
Необходимые и достаточные условия существования периодического решения линейной неоднородной системы в резонансном случае [62; с. 109] имеют вид
/ 2(г-7г42)/а1)А1 0 '^со'=У°
0 —2(г + тга'а)/аг)1 ) у с_2 ) °
Они ВЫПОЛНЯЮТСЯ при ненулевых Со и с_2, если А1 = 0. При выполнении последнего условия 27Г-периодическое решение уравнения (2.43) имеет вид иДя) = 0, « 6 К. С учетом полученных результатов перепишем уравнение (2.42):
й2 +2ш2 -4гс_2е~2гаА2 + ((4соз2(в) -1)За3/(4а1) +2(г — яа^/аДАгДсо + с_2е_2“) = 0.
Необходимые и достаточные условия существования периодического решения линейной неоднородной системы в резонансном случае [62; гл. 2, §4, равенство (4.13)] имеют вид
( 7““+2(* _7гао2)/аОА2
4 0,1
Заз Заз _ _
V 4 аз 4щ
Они выполняются при ненулевых Со и с_2, если А2 является корнем квадратного уравнения
—4 ^а2 + 7г2а® ) А2 + 37гао^а3А2 = 0.
Его ненулевой корень определяется формулой
_ З7г<42)а3
2~4(а?+-242)У
Для точек М из множеств (2.36) характеристическое уравнение (2.29) имеет пару чисто мнимых корней А = ±ш/2. Им отвечает один полупростой характеристический показатель Ао = ш/2 дифференциального уравнения с запаздыванием (2.28), которому отвечают два линейно независимых решения Флоке: г/1 (я) = е”“/2, т/2(з) = е~гпз/2. В силу двухкратности характеристического показателя А0 квазигар-моническое дифференциальное уравнение с запаздыванием (2.12) имеет два характеристических показателя: АзДд) (Аз,4(0) = Ао = т/2).
Характеристический показатель А, отвечающий корню Ао = ш/2 характеристического уравнения (2.29), ищем в виде асимптотического разложения
А(д) = т/2 + А1 ц -1- А2ц2 + о(д2).
Ему отвечает решение Флоке 2/(в, ц) = и(й, ц)ех^8, з £ I, квазилинейного дифференциального уравнения с запаздыванием (2.12), в котором функция и является 27т-периодическим решением обыкновенного квазигармонического дифференциального уравнения
й + 2Х(ц)й + ^А2(/х) + ^^■(Е1(5(5,/4)) + Е’2(г(5,/х))е_2,гДм)^ и = 0,

3 а3
4 а
+ 7гс42)/а1)А2