Формулировка ренормируемой модели развитой турбулентности сжимаемой жидкости и ее исследование при произвольных числах Маха

• Автор: Удалов, Андрей Анатольевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 91 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Обобщенная модель развитой турбулентности несжимаемой жидкости
1.1 Постановка задачи
1.2 Квантовополевая формулировка и случай малых а
1.3 Однопетлевое приближение при малых а
1.4 Случай конечных а
2 Реыормируемая модель развитой турбулентности сжимаемой жидкости: двухпараметрическое разложение РГ-функций
2.1 Постановка задачи и ее квантово-полевая формулировка
2.2 Особенности РГ-подхода при произвольных Ма
2.3 Построение ренормировочной схемы
2.4 Однопетлевое приближение
3 Развитая турбулентность при произвольных числах Маха
3.1 Введение
3.2 Постановка задачи. Квантово-полевая формулировка
3.3 УФ-раеходимоети и УФ-ренормировка
3.4 РГ функции, неподвижная точка и критические размерности
3.5 Решение уравнений РГ для парного коррелятора скорости. Эффективная скорость звука и число Маха
4 Заключение
Приложение
Приложение 2. Тб
Литература

Введение.
При изучении развитой турбулентности жидкостей и газов основными объектами рассмотрения являются корреляционные функции характеристик среды, таких как скорость, плотность, давление. Важнейшей из них является парный коррелятор скорости, определяющий спектр турбулентной энергии Е(к) :
где D - размерность пространства координат, к - импульс, Sd ~ площадь поверхности единичной D-мерной сферы.
Согласно феноменологической теории Колмогорова-Обухова (см. [29] или [25]), сформулированной первоначально для случая несжимаемой жидкости, стадия развитой турбулентности может быть представлена как стационарный процесс переноса энергии накачки мощностью W от крупных вихрей размера L ко все более мелким с одновременной ее диссипацией на масштабах порядка Ьцвв = г/—э) —х/4 и меньше
(и - кинематическая вязкость). При этом L/Ldia, = Де3/4, где Де = vcL/v - число Рейнольдса (vQ - характерная скорость крупномасштабных пульсаций), а так как в турбулентном режиме Де ~Э> 1, то LjLdiee » 1, и существует так называемый инерционный интервал L~l <С к -С Ldilss импульсов и W1/3!,-2/3 С ?уо частот, для которого естественным выглядит предположение о том, что спектр энергии Е{к) в нем не зависит ни от деталей накачки (т.е. от L), ни от деталей диссипации (т.е. от у). Пользуясь этим предположением, легко получить из соображений размерности выражение для спектра энергии в инерционном интервале:
где А - безразмерная константа. Представления типа (0.2) можно получить и для других корреляционных функций.
После получения феноменологического результата (0.2) встал важный вопрос его вывода из точных уравнений, описывающих движение жидкости, в качестве каковых
т = 2к°~1 МММ-М)>>
(0.1)
(0.2)
традиционно использовались уравнение Навье-Стокса
дет = 1/А V — (у9)у — др + {
(0.3)
с внешней случайной силой £(х,£), описывающей нерегулярность движения жидкости в турбулентном режиме и моделирующей накачку энергии из области крупных вихрей; и уравнения непрерывности, вырождающегося для несжимаемой среды в условие поперечности поля флуктуаций скорости: д№ = 0. При этом для £(х,£) предполагается гауссово распределение с нулевым средним и коррелятором
где РА (к) = ду — кк/к2 - поперечный проектор, к - импульс, а функция П/(к) связана с мощностью накачки
Б - размерность пространства координат, р(х, £) в (0.3) - это поле флуктуаций давления.
Вычисление корреляторов полей у(х,£) и р(х,£) в модели (0.3)-(0.4) изначально велось путем формального решения уравнения (0.3) итерациями по нелинейности и последующего усреднения получающихся рядов по степеням £(х, £) с использованием свойства гаусеовости случайной силы и выражения (0.4) (так называемая диаграммная техника "Уайлда [80]). Позднее было установлено [68], что стохастические задачи типа (0.3)-(0.4) могут быть сведены к квантово-полевым моделям с функционалами действия определенного вида, содержащими удвоенный набор полей. В частности, для рассматриваемой модели (0.3)-(0.4) функционал действия дается выражением
где у'(х,£) - дополнительное векторное, поперечное поле. В (0.6), как и в последующих аналогичных выражениях, подразумевается суммирование по векторным индексам и интегрирование по пространственным координатам и времени. Формальное разложение в ряд теории возмущений проводится по параметру д0> входящему в

(0.5)
5 = -«'£>/*/ + ь’{—(Ь + VД)и - у'(уд)у,
(0.6)
Эти результаты нельзя непосредственно продолжить в точку а'р, ёр, но можно продолжить в логарифмическую точку раздела 1.3: а1 = щ, ё = -За/. Здесь в теории появляются новые особенности и новая устойчивая фиксированная точка о), из которой, пересуммировав подходящим образом ряды (ё, а') - разложения скейлин-говых функций, уже можно продолжать результаты в физическую точку. Однако, что касается вычисленных размерностей (1.35), то, так как они представлены в виде конечных отрезков рядов, пересуммирования не требуется, и в них можно просто положить ё — ёр, а' = ар, получив тем самым Колмогоровские значения размерностей. Именно такие результаты скорее всего и должны были бы быть получены в [81], [39] при правильной обработке теории.
В заключение скажем несколько слов об ограничении щ < (4— Л)/4, указанном в разделе 1.1. Оно определено тем, что затравочный пропагатор < ы> >0 в теории (1.34) имеет вид (в (к, -представлении):
диЧ'1* к2-В-Лщ-2-2Ыехр1 М-2Ык2-2Щ+2Ы

Поэтому при «( > (4 —Л)/4 в диаграммах теории возмущений появляются новые ИК сингулярности от / ё0к < т >о, которые должны быть регуляризованы введением ИК-массы то (обратного интегрального масштаба турбулентности) в коррелятор случайной силы (например, по формуле (0.24). Тогда при исследовании ИК ассимптотик теории смешиваются две проблемы: общего ИК скейлинга относительно согласованного растяжения всех переменных, и сингулярностей скейлинговых функций при малых т. Это существенно усложняет исследование, в то время как при а; < (4 - Л)/4 эти проблемы решаются независимо: РГ определяет общую екейлинговую размерность, а сингулярности по то исследованы в [1] при а/ = 0 и в [14] при щ > 0.