Вейвлет-преобразование в теории случайных процессов и квантовой теории поля

• Автор: Алтайский, Михаил Викторович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 220 с. : ил.

1 Основные сведения о непрерывном вейвлет-преобразовании
1.1 Об истории вейвлет-преобразования
1.2 Некоторые сведения из теории групп
1.3 Разложение по представлениям аффинной группы
1.4 Спектральная форма вейвлет-преобразования
1.5 Анализ локальной регулярности
1.6 Дуальные вейвлеты
2 Случайные процессы и квантовая теория поля
2.1 Квантовая теория поля как задача функционального анализа
2.2 Случайные процессы и СДУ
2.3 Квантовая механика
2.4 Квантовая теория поля как задача статистической механики
2.5 Сингулярности и перенормировка
2.6 Применение квантовополевых методов для описания классических
систем с большим числом степеней свободы
3 Многомасштабные случайные процессы
3.1 Самоподобие и зависимость от масштаба
3.2 Вейвлет-преобразование случайных функций
3.2.1 Случайные вейвлет-коэффициенты
3.2.2 Распределение энергии по масштабам
3.2.3 Дельта-коррелированные процессы
3.3 Многомасштабная стохастическая динамика
3.3.1 Уравнение Ланжевена
3.3.2 Итерационное решение стохастических уравнений

3.3.3 Уравнение КПЗ с масштабно-зависимой случайной силой
3.3.4 Накачка с некоррелированными масштабными компонентами
3.3.5 Накачка на фиксированном масштабе
3.4 Непрерывное вейвлет-преобразование в стохастической гидродинамике
3.4.1 О многомасштабном описании турбулентности
3.4.2 Многомасштабное разложение уравнений Навье-Стокса с помощью непрерывного вейвлет-преобразования
3.4.3 Стохастическая гидродинамика с многомасштабной силой
3.4.4 Диссипация и передача энергии по масштабам
3.4.5 Гипотезы Колмогорова
3.4.6 Заключительные замечания о многомасштабной теории турбулентности
4 Стохастическое квантование
4.1 О методе стохастического квантования
4.2 Операторный формализм Намики и Ямонака
4.3 Стохастическое квантование и теория возмущений
4.4 Многомасштабное стохастическое квантование
4.5 Поля Янга-Миллса
5 Квантовая механика иерархических систем
5.1 Иерархические системы и квантовая информация
5.2 Квантовое измерение
5.3 Волновая функция и матрица плотности иерархических систем
6 Вейвлеты и устранение расходимостей в теории поля
6.1 Ультрафиолетовые расходимости
6.2 Теория
6.3 Коммутационные соотношения для многомасштабных полей
7 Многомасштабные разложения и р-адическая теория поля
7.1 Геометрия и числовые поля в физике
7.2 Архимедовы и неархимедовы нормы в математической физике
7.3 Поле р-адических чисел
7.4 р-адическая квантовая теория поля
7.4.1 р-Адическая теория поля и евклидова теория поля
7.4.2 Геометрический подход к р-адической теории поля

Окончательно, для приведения ХФ к форме производящего функционала некоторой теории поля, представляют функциональную дельта-функцию в (2.57) в виде функционального интеграла по вспомогательному полю ф,
5(...) = / ехр J ф(х, t) ■ (.. .)dxdtj Т>ф,
а функциональный детерминант - в виде интеграла по паре вспомогательных грассмановых полей фиф, духов Фадцеева-Попова [224]:
det М = J ехр J фф,, х)М(t, х, t', х')ф{1, x)dtdxdt'dx'^j Т>фТ>ф.
После интегрирования по гауссовой случайной силе, получаем производящий функционал в виде
J ехр (гг]ф + гт/ф + iS[^, ]j Т>фТ>фТ>фТ>ф (2.58) sy>t$i = тф-иф))+ф^-^ф+г-т,
где, для удобства вычисления функций отклика, вводится дополнительный источник r](t,x), имеющий смысл регулярной (не случайной) силы в исходном уравнении Ланжевена (2.56). Характеристический функционал, зависящий от двух источников ц и ц, мы будем далее называть производящим функционалом, так как он используется как для построения моментов, так и для построения функций отклика. В выражениях (2.58) и далее подразумеваются все необходимые интегрирования по повторяющимся аргументам х = (t,x). В случае, когда вклад функционального детерминанта может быть отброшен (см. например [206, 226]), характеристический функционал (2.58) заменой ф —* гф превращается в евклидову теорию поля для дублета полей (ф,ф), из которых лишь первое является динамическим - в уравнения движения входит лишь временная производная от ф, но не от ф.
Возможность не учитывать функциональный детерминант в характеристическом функционале (2.58) связана со свойствами причинности. Значение ф{Ь,х) в уравнении Ланжевена может функционально зависеть лишь от значений случайной силы в прошлом t' < t, но не от ее значений в будущем. При совпадающих же временах, функцию Грина можно доопределить средним значением на разрыве
сад = о(-М+,с(±о,х) = 1ад.