Преобразование Дарбу функции Грина уравнения Дирака и одномерные точно решаемые релятивистские модели

• Автор: Поздеева, Екатерина Олеговна
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 107 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Одномерное четырёхкомпонентное уравнение Дирака
1.1 Одномерное четырехкомпонентное уравнение Дирака
1.2 Преобразование Дарбу одномерного четырехкомпонентного уравнения Дирака
1.3 Точно решаемый гамильтониан взаимодействия нейтральной массивной частицы спина 1/2 с электрическим полем
1.4 Цепочка преобразований
1.5 Функции Ляпунова
1.6 Физическая интерпретация
1.7 Одноеолитонные гамильтонианы
1.8 Многосолитонные форм-инвариантные гамильтонианы
1.9 Структура спектров и собственных

функций гамильтонианов Нп
2 Преобразование Дарбу нестационарного уравнения Дирака
2.1 Суперсимметрия
2.1.1 Квадратичная суперсимметрия
2.1.2 Суперсимметрия одномерного нестационарного уравнения Дирака

2.2 Преобразование Дарбу нестационарного уравнения
Дирака. Оператор преобразования Дарбу
2.3 Преобразование Дарбу нестационарного уравнения
Дирака со скалярным потенциалом
2.4 Свойства преобразования Дарбу
2.5 Интегральное преобразование, связанное с преобразованием Дарбу
2.6 Примеры .
Преобразование Дарбу функции Грина регулярной краевой задачи одномерного двухкомпонентного стационарного уравнения Дирака
3.1 Теорема Сакумара
3.2 Обобщение теоремы Сакумара на случай уравнения Шредингера с эффективной массой
3.3 Функция Грина регулярной краевой задачи одномерного уравнения Дирака
3.4 Преобразование Дарбу функции Грина регулярной
краевой задачи одномерного стационарного уравнения Дирака ;
3.5 Формулы полного следа
3.6 Преобразование Дарбу функции Грина уравнения
Дирака с псевдоскалярным потенциалом
3.7 Обсуждение
3.8 Формула Сакумара для уравнения Дирака
3.8.1 Формула Сакумара для уравнения Дирака
3.8.2 Пример
Заключение
Список литературы
Введение
Метод конструирования аналитически решаемых уравнений с помощью операций дифференцирования из уравнений, которые уже имеют аналитические решения, называется методом преобразования Дарбу[1, 2]. В настоящее время метод преобразования Дарбу [1, 3] широко применяется для построения квантово-механических моделей, допускающих точные аналитические решения [4. 5, 6, 7, 8].
Идея метода была предложена французким математиком Гастоном Дарбу. В 1882 г. Г. Дарбу на основе решений одномерного уравнения Штурма-Лиувилля нашел формулы, позволяющие конструировать новые точно решаемые потенциалы уравнения Штурма-Лиувилля и соответствующие решения [1, 2]. В 1926 г. было сформулировано уравнение Шредингера [9] и метод преобразований Дарбу был применен для построения точное решаемых задач квантовой механики.
Значительный вклад в дальнейшее развитие метода был сделан М. Крумом. В 1954 г. М. Крум сконструировал цепочки преобразований Дарбу п-ого порядка уравнения Шредингера [10], независимо от метода факторизаций. Впервые (1873 г.) метод факторизаций был предложен Ф. Г. Фробениусом [11, 12], однако, распространение получил как метод факторизаций Шредингера [13, 14, 15].
Современная концепция преобразований Дарбу принадлежит В.Б. Матвееву, обобщившему и переформулировавшему в 1979 году результаты Дарбу—Крума применительно к бесконечным иерархиям линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и некоторым их обобщениям (например, дифференциально-разностным и матричным), включая нелинейное уравнение Шредингера, уравнения Кортевега-де Фриза, Кадомцева—Петвиашвили и многие другие [16, 17]. Многочисленные конкретные реализации метода [16, 17] суммированы в
2.1 Суперсимметрия
Известно [6, 25, 117], что СКМ эквивалентна методу преобразований Дарбу и методу факторизации [4, 7, 118], известному со времен появления работ Шредингера [13, 9, 14, 15].
Согласно Виттену [28], супергамильтониан Н и суперзаряды О,и где i — 1,2,N образуют супералгебру
{Я?, = 5Н, i, j = 1,2, ...]Ч, (2-1)
[ЯиЩ = 0, (2.2)
В [119] рассматривается простейший случай такой системы, когда существует всего два суперзаряда, Я и Я2- В терминах зарядов Я = {Яг + г(52)/л/2 И Я+ = (<21 — г(Э2)//2 алгебра (2.1), (2.2) определяется соотношениями:
я = {«, [<3, Я] = [Щ, Я] = 0. (2.4)
Таким образом, заряды Я я Я+ коммутируют с гамильтонианом Н, вследствие чего спектр гамильтониана вырожден.
Известно, что вырождение спектров гамильтонианов суперпартнеров Н и #2 уравнения Шредингера может быть понято с помощью свойств алгебры суперсимметрии [39].
2.1.1 Квадратичная супер симметрия
Одномерное двухкомпонентное стационарное уравнение Дирака со скалярным и псевдоскалярным потенциалами сводится к двум уравнениям Шредингера.
В данном разделе мы рассмотрим суперсимметричный аспект преобразования Дарбу, полученного в [20], для одномерного двухкомпонентного стационарного уравнения Дирака.