Асимптотические методы и ультравторичное квантование Маслова в некоторых задачах квантовой статистики

• Автор: Голиков, Дмитрий Сергеевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 151 с.

Содержание
Введение
1 Системы большого числа частиц на решётке
Решеточная аппроксимация гамильтониана
Условие тупнельности гамильтониана
1.1 Туннельная асимптотика решений уравнения Шредннгера для двухуровневой системы
1.1.1 Гамильтониан
1.1.2 Уравнение Щредингера
1.1.3 Уравнения туннельной асимптотики при N —> оо
1.1.4 Спектр туннельной асимптотики
1.1.5 Разрешимость уравнения для б1'(ж)
1.1.6 Собственные векторы уравнения Шредингера
1.1.7 Экспоненциальное расщепление энергетических уровней
1.1.8 Средние числа частиц
1.2 Система произвольного числа уровней
1.2.1 Туннельная асимптотика
1.3 Исследование модельного гамильтониана взаимодействующих бозонов
1.3.1 Применение вариационного принципа Боголюбова
1.3.2 Асимптотика собственных значений при С —-> оо
Приложение
2 Ультравторичное квантование уравнения Шредингера
2.1 Ультравторичное квантование и истинный символ
в случае модели Бардина-Купера-Шриффера
2.1.1 Ультравторично квантованный оператор модели БКШ

2.1.2 Вариационная энергия гамильтониана БКШ
2.1.3 Уравнения БКШ-Боголюбова для парной функции
2.1.4 Пара Лакса для уравнений самосогласованного поля модели БКШ
2.2 Истинный символ Маслова для системы бозонов
2.2.1 Истинный символ и уравнения движения
2.2.2 Эквивалентная форма уравнений
2.3 Истинный символ Маслова для системы фермионов
2.3.1 Истинный символ и уравнения движения
2.3.2 Эквивалентная форма уравнений
2.4 Математическая модель для антисимметрических решений Л-частичного уравнения Шредингера
3 Ультравторичное квантование уравнения для матрицы плотности
3.1 Символ Маслова для матрицы плотности
3.1.1 Представление ультравторичного квантования
3.1.2 Уравнения движения и их решения
3.2 Символ Маслова для матрицы плотности.
Ультравторичное квантование но парам
3.2.1 Представление ультравторичного квантования по парам
3.2.2 Истинный символ уравнения для матрицы плотности
3.2.3 Пара Лакса уравнения для матрицы плотности
Заключение
Список литературы

Введение
Подавляющее большинство проблем теории многих тел. представляющих физический интерес, достаточно сложны и как правило не имеют точного решения. Поэтому существенный интерес приобретают модельные системы, допускающие их математическое рассмотрение. Настоящая диссертация посвящена исследованию свойств модельных систем большого числа взаимодействующих частиц.
Выбор гамильтонианов для конкретных систем взаимодействующих частиц представляет для статистической механики важную проблему. При рассмотрении конкретных реальных систем с большим (в пределе — бесконечным) числом степеней свободы невозможно принять во внимание все без исключения свойства такой системы. Основная задача состоит в том, чтобы учесть лишь наиболее важные с точки зрения изучаемого явления черты этой системы, сознательно пренебрегая остальными. Подобное упрощение задачи носит название модельного подхода, а соответствующие гамильтонианы — модельных. Необходимо отметить, что формулировка модельных задач представляет собой весьма сложную физическую и математическую проблему.
В конкретных задачах теории многих частиц адекватного соответствия реальной системы и её математической модели обычно не бывает и приходится довольствоваться моделью, свойства которой существенно отличаются от свойств реальной системы. Для решения таких задач приходится пользоваться приближёнными методами. Тем не менее, в настоящее время этот подход для большинства задач теории многих тел является почти единственным. Так обстоит дело и для квантовых, и для чисто классических систем.
С другой стороны, строгое исследование задачи как правило сталкивается со сложными математическими проблемами [1]. Поэтому точные решения модельных задач достаточно редки и оказывают большое воздействие на развитие статистической механики в целом [2]. Одной из важнейших проблем статистической физики является рассмотрение точно решаемых случаев. Такое рассмотрение вносит существенный вклад в наше понимание весьма сложных задач квантовой статистики и, в частности, для обоснования используемых приближённых методов.
В связи с этим представляет существенный интерес изучение тех немногих моделей, которые имеют некоторое сходство с реальными физическими системами, но допускают точное решение. При этом могут быть зютановлены основные особенности

Вихревое решение
Решение с двумя максимумами в точках ад, х2 является аналогом возникновения вихрей в теории сверхтекучести [44].
В этом случае уравнение Шредингера имеет два решения ф1 (х) и ф2 (х),
Фз 0*0 = <Р] (ж) (х), 3- I,2, в]{х) = АГДх) + г7г кх.
Действие и предэкспоненциальную функцию, как следует из уравнений (1.11), (1.12) и соотношения (1.25), можно задать в виде

) = J |агссЬ/(у) 1здп(х* — у) Фу, (1.26)
К Ах
<Рг(х) = ехр 4 / дг(у) (1у > , (1.27)
где хг - максимум функции А;(х).
Ео — Т± — — {у2 — VI) х(1 — х) / у у
/(х) = ей АДх) = ±
2Т2у/х{1-х) V
д{(х) = (1п !р;(.т))'

+ Т) ~ 1уе"А,(Х) " TV/?eЛKI) ~ Т2уЯГ)'(х) сйА'(х)
.. _
Знак плюс соответствует чётным значениям к, минус — нечётным. После тождественных преобразований с учётом значений энергии (1.24) несложно получить, что
/(а-')
2 аДх(
===== + - я). (ПРИ а = ~ > 2)
:(1 — * -*2
(1 + 2п) Д4 + /-е~ЩХ) + + 2л/(! - *Ж"(®) сЬ А'(х)
4Дх(1 — х) яй А'?(х)
Так как Хг + х2 = 1, /(1 — х) = /(х), то
А'г(1 - *) = 2ВД, АГа(1 - х) = —А] (х), А"(1 - х) = А'"(х),
,92(1 - х) = -51 (х), (1.28)
уэ2(1 -х) = рДх), 9?2(! -*)