Адиабатическая теория возмущений для систем с упругими отражениями

• Автор: Горелышев, Игорь Викторович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Теория возмущений для систем с упругими отражениями
§1. Адиабатическая динамика в модели Ферми-Улама
§2. Трасса луча в плоском плавно нерегулярном волноводе
§3. Динамика массивного поршня, окруженного газом легких частиц. 32 §4. О полном числе соударений в одной биллиардной задаче
4-1- Описание системы
4-2. Динамика системы в адиабатическом приближении
4-3. Оценки точности
2 О смене режимов движения в системах с упругими отражениями
§1. О скачке адиабатического инварианта при смене режима движения в системах с упругими отражениями
§2. Описание динамики системы
§3. Оценки точности
§4. Переход через сепаратрису
4-1. Улучшенный адиабатический инвариант
4-2. Асимптотические разложения вблизи сепаратрисы

4-3. Асимптотическая формула для скачка улучшенного адиабатического инварианта
4-4 Численный эксперимент
4-5. Доказательства некоторых утверждений
3 О смене режима распространения лучей в плавно нерегулярном волноводе
§1. Гамильтонова динамика системы
§2. Переход через сепаратрису
2.1. Улучшенный адиабатический инвариант
2.2. Асимптотические разложения в окрестности сепаратрисы
2.3. Асимптотическая формула для значения скачка улучшенного адиабатического инварианта
2-4- Формула для функции замены переменных в режиме с
отражениями
Заключение
Литература

Введение
В современной теоретической физике часто встречаются системы, отличающиеся от интегрируемых малым возмущением. В качестве возмущения может выступать зависимость системы от медленно изменяющегося со временем параметра или зависимость системы от медленно меняющихся фазовых переменных. Примерами подобных систем являются системы, описывающие движение заряженных частиц в медленно меняющихся магнитных полях [1, 2] (см. также недавние работы [3, 4]), распространение лучей в плавно нерегулярных волноводах [5], некоторые задачи небесной механики [6, 7], возмущенное вращение твердого тела вокруг неподвижной точки [8]. Во всех этих задачах имеет место разделение движений на быстрые и медленные. Для исследования подобных систем и предназначена адиабатическая теория возмущений. В основе метода этой теории лежит наличие в системе приближенного интеграла движения, адиабатического инварианта (см., [9, 10]).
Несмотря на то, что понятие «адиабатический инвариант» было введено еще П. Эренфестом [11], в современном виде эта теория сформировалась со-

/( = piXfnг, 1Г = |рг|(£. - Х)/7г.
Производящие функции для перехода от переменных (р, х) к переменным «действие-угол» имеют вид
5г(/;, Ж/, X) = 1(ф[х1, рг, X), Зг(1г,хг,Х) = 1гф(Ь - хг, -signpI., Ь - X).
В задаче с движущимся поршнем сделаем замену переменных с производящей функцией
]У = РХ + ад, хи х) + 5Г(/Г, хГ, X) и запишем формулу для гамильтониана в новых переменных
п = 4 (р - §л«+адл«у+(з.з)
Функция /() определена второй формулой (1.3).
Чтобы получить изменение значения переменной «действие» частицы и импульса поршня н результате столкновения, естественным представляется следующий подход: зафиксировать все переменные, кроме переменных, описывающих движение частицы, участвующей в соударении; для этой частицы получить таким образом систему с одной степенью свободы и вычислить скачок значения переменной «действие» из условия сохранения гамильтониана. Значения переменных после соударения будем отмечать штрихом сверху.
Покажем, что для левой частицы (для правой частицы рассуждение полностью аналогично) предложенный способ определяет правильное значение изменения переменной «действие» при соударении:
Г/ Г 2РХ 2 РХ
I — 1 1йГ Тг—т(—л7 ~ *) (3-4)
1 7Г М М+Г7ТМ ' v '