Спектральные задачи с конечнозонным спектром : тривиализация тэта-функциональных методов

• Автор: Брежнев, Юрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 253 с.

Оглавление
Введение
1 Интегрируемость: конечнозонная и точная
1.1 Точно решаемые потенциалы. Мотивации
1.2 Уравнения Ф" — и(а:)Ф = АФ с конечнозонным спектром
1.3 Решение и спектральные данные
1.4 Где и как появляются римановы поверхности?
1.5 Замечания о произвольных спектральных задачах
1.5.1 Уравнения Дубровина
2 Конечнозонность И ТЭТА-ФУНКЦИИ
2.1 Спектрально-квадратурная двойственность
2.2 Возникновение тэта-функций (©-ряда)
2.3 Дисперсионные соотношения (нетривиальный пример)
3 Эллиптические солитоны
3.1 Эллиптические конечнозонные потенциалы
3.2 Алгоритмизация метода Эрмита-Альфана
3.3 Конечнозонные уравнения фуксового типа
3.4 Преобразования монодромии
3.4.1 Примеры и следствия
3.4.2 Алгоритм построения Д-функции
4 Динамические свойства и квантование 0-функций
4.1 Об эллиптических функциях и их модулях
4.2 Дифференциальный аппарат 0-функций
4.2.1 О'0-константах и уравнении теплопроводности
4.3 Алгебраическая интегрируемость 0-функций
4.3.1 0-тождества как интегралы
4.3.2 Канонические 0-ряды и эллиптические функции

Оглавление

4.4 «Конечнозонные» уравнения па 0-функции
4.4.1 Новая трактовка спектрального параметра
4.5 Квантование
4.5.1 Полиномиальные динамические эквиваленты
4.5.2 Структура интегралов движения
4.5.3 Квантование
4.6 Общее решение и расширение 0-функций
5 Дифференциальные свойства 0-констант
5.1 Динамические системы на 0-константы
5.2 Общее решение
5.2.1 Замечания о выводе интегралов движения
5.3 Гамильтоново и лагранжево описание
5.4 Новые конечнозонные формулы следов
6 Космологические метрики Хитчина и 0-функции
6.1 Уравнение Те и решения Пикара-Хитчина
6.1.1 Решение Пикара
6.1.2 Решение Хитчина
6.1.3 Подстановка Пенлеве
6.2 Алгебраические решения Пикара-Хитчина
6.3 Аналогии с конечнозонным классом
6.3.1 1-параметрические решения
6.3.2 Распределение полюсов
7 Методы теории униформизации
7.1 Уииформизация/параметризация алгебраических зависимостей
7.1.1 Эллиптический случай д =
7.1.2 Высшие рода и фуксовы уравнения
7.1.3 Почему и как появляются орбифолды?
7.1.4 Абелевы интегралы и накрытия торов. Примеры
7.2 Фундаментальность «рациональных» фуксовых уравнений
7.2.1 Преобразования между фуксовыми уравнениями
7.3 «Геометризация». Замкнутость, интегралы и связности
7.3.1 Униформизации в инвариантной формулировке
7.3.2 Голоморфные интегралы. Точно решаемый пример
7.3.3 Построение и дифференциальный аппарат связностей
7.3.4 Замечания о замкнутости теории

Оглавление

7.4 Метрики Пикара-Хитчина (униформизация)
7.4.1 Новый тип тэта-констапт
7.4.2 Примеры и следствия
Основные выводы
Приложение
А1 Функции Якоби
А2 Функции Вейерштрасса
АЗ Новый способ построения эллиптических функций
А4 Аналитическое решение задачи обращения
А4.1 Следствия
А5 Многомерная ©-функция
Литература
2. Конвчнозонность И ТЭТА-ФУНКЦИИ

мы получим то, что разность
п(х) А
/•и) + рдг Г ( и) + д(х) V) + Р'с!г _
г — и) — 7(2;) г — а ) ю

должна быть всюду конечной величиной, т. е. голоморфным интегралом -у(х)
•••= У |^1 (Л) + Л2(А).г н Ад{ А) г9-1}—.
Сумма д таких величин должна быть голоморфным интегралом, зависящим симметрично от 7. Таким образом выражение (1-21) конвертируется в его двойственный объект (2.2)-(2.3).
Здесь еще раз уместно отметить, что данный переход отражает довольно сложную зависимость Ф(А), которая, с другой стороны, совершенно естественно появляется из квадратурного подхода.
§2.2 Возникновение тэта-функций (©-ряда)
Основное содержание данного параграфа может быть сформулировано в виде следующего предложения.
Предложение 2.2. Тэта-функциональные представления для копечпозонных решений (не только уравнения (1.1)) выводимы из квадратурных формул типа (1.21).
Мы проведем рассуждение применительно к уравнению (1.1).
Поскольку спектральный параметр А связан с переменной /х алгебраическим соотношением (1.15) конечного рода g мы можем рассматривать обе эти переменные как мероморфные функции А = А(т), /х = /х(т) от глобального униформизирующего параметра т на кривой (1.15). Соответственно, мы рассматриваем Ф-функцию (1.21) как функцию от х и т

где ак произвольные константы. Это выражение есть симметрическая функция от величин 7ь, а последние, как функции от х, определяются через задачу обращения