Квантовые двумерные осцилляторы с полиномиальными потенциалами

• Автор: Семёнов, Евгений Александрович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 155 с. : ил.

Содержание
Глава 1. Обзор литературы
1.1. Квантовые волноводы
1.2. Квантовые двумерные осцилляторы
1.3. Модели квантового туннелирования
1.4. Классические и квантовые осцилляторы Дуффинга
Глава 2. Квантовые гармонические осцилляторы со связью, туннелирование
2.1. Основные уравнения и допущения
2.2. Изо- и анизотропные осцилляторы
2.3. Туннелирование и свободное движение в волноводах
2.4. Квантовый осциллятор Паллена-Эдмондса
2.5. Квантовый анизотропный осциллятор Паллена-Эдмондса
Глава 3. Квантовые двумерные осцилляторы Дуффинга
3.1. Примеры физических систем, описываемых потенциалом Дуффинга
3.2. Двухъямный и гармонический осцилляторы со связью
3.3. Одно- и двухъямный осцилляторы Дуффинга со связью
3.4. Двумерный двухъямный осциллятор Дуффинга
3.5. Анизотропный осциллятор Дуффинга
3.6. Влияние шума на колебания
Глава 4. Численное интегрирование и контроль точности решений нестационарного двумерного уравнения Шредингера .
4.1. Методы численного решения уравнений параболического типа

4.2. Конечно-элементное решение стационарного уравнения Шре-дингера
4.3. Контроль точности результатов
4.4. Проверка принципа соответствия и инверсии эволюции
4.5. Обоснованность и достоверность положений и выводов
Заключение
Литература

Актуальность работы. В течение последних десятилетий проблема квантовых динамических свойств в осцилляторах и волноводных системах приобрела особое значение. С одной стороны, это объясняется успехами в точных технологиях, материаловедении и достижениями измерительной техники. С другой, это открыло новые возможности в экспериментальном изучении законов движения микрочастицы в физике, химии, объектах нанометро-вых масштабов, в отдельных молекулах и атомах. Фундаментальное значенше как теоретических, так и экспериментальных исследований состоит в том, что они являются базой для создания нового поколения электронных приборов, в том числе квантовых компьютеров.
В настоящее время квантовые волново-пакетные динамические закономерности тщательно изучены для наиболее простых потенциальных систем: с бесконечными стенками, в форме бильярдов, прямоугольных ям и барьеров. Квантовый гармонический осциллятор, являющийся простой и точно решаемой задачей, сыграл фундаментальную роль в моделировании множества явлений в различных областях физики и химии. Однако, во многих ситуациях он не может обеспечить описания квантовых систем, так как появилась необходимость в описании систем с полиномиальными потенциалами высоких степеней. Квантовый осциллятор стал ангармоническим, и динамика ангармонических осцилляторов стала занимать достойное положение в исследованиях. Здесь следует отметить исследования квантовой динамики электрона в двухъ-ямном полиномиальном потенциале молекул, который в классической механике называется потенциалом Дуффинга. Классические нелинейные задачи с осциллятором Дуффинга послужили основой в формулировке квантовых осцилляторов Дуффинга и открыли новые возможности в объяснении динамических свойств. Например, наномеханические осцилляторы с потенциалом Дуффинга при понижении температуры переходят в квантовый режим функционирования. Характерные частоты колебаний таких осцилляторов находят-

нелирования. В статье исследована дискретная модель двухъямной системы с периодическим внешним воздействием.
1.3.1. Квантовые траектории Бома
Последние десятилетия характеризуются высокой исследовательской активностью по изучению квантовой динамики микрочастицы в рамках квантовых гидродинамических уравнений или интерпретации де-Бройля—Бома, Маделупга. В этой связи следует отметить работы [39], [40], [41], [42], [43].
Туннелирование и прохождение через барьер представляют собой явления, которые являются универсальными в квантовой механике. Из классической механики хорошо известно, что если частица не имеет достаточную энергию для преодоления потенциального барьера, она будет отражаться и барьер становится непроницаемым. Однако в квантовой механике частица может пройти через барьер, не обладая достаточной энергией для этого. Это может быть рационально объяснено множеством способов. Возможно, наиболее последовательным является способ, основанный на методе квантовых траекторий Бома [44]. Этот метод следует из альтернативной формулировки уравнения Шредингера. Если волновую функцию представить в экспоненциальной форме
затем подставить ее в уравнение Шредингера и разделить вещественную и мнимые части, то можно получить уравнение непрерывности и квантовое уравнение Гамильтона-Якоби. Они имеют вид
где р = |Ф|2 - плотность вероятности, 5 - обобщенное действие, [/-классический
Ф( а^, /) = Ща?’, £) • ехр^3(~з?, €)/Н)
(1.3.41)
(1.3.42)