Калибровочные симметрии, интегрируемые системы и изомонодромные деформации

• Автор: Зотов, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 184 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Системы Хитчина: теоретико-групповой подход
1.1 Пространство модулей голоморфных расслоений
1.2 Системы Хитчина
1.3 Основные примеры эллиптических интегрируемых
моделей
1.3.1 Системы Годена на эллиптической кривой
1.3.2 Описание моделей Годена как систем Хитчина
1.3.3 Система Калоджеро
1.3.4 Эллиптический ЗЦАГ, С) волчок Эйлера-Арнольда
2 Модификации расслоений и интегрируемые системы
2.1 Характеристические классы: глобальное описание
2.2 Голоморфные расслоения на эллиптической кривой
2.3 Характеристические классы: локальное описание
и модификация
2.4 Соответствие Калоджеро-волчок
2.5 Система взаимодействующих волчков
3 Характеристические классы и квантовые 11-матрицы
3.1 Характеристические классы расслоений
3.2 Эллиптические Д-матрицы: общая конструкция
3.3 Квантовые С) Д-матрицы
3.3.1 Модули С)-расслоепий на эллиптической кривой
3.3.2 Присоединенные расслоения и взаимодействующие волчки
3.3.3 Квантовые Д-матрицы Бакстера-Белавина и Фельдера
3.3.4 Общие квантовые Д-матрицы для ЭЦ./У, С)-раеслоений
3.3.5 Тригонометрические и рациональные пределы
4 1+1 полевые системы Хитчина
4.1 Теоретико-полевые обобщения
4.1.1 Системы Хитчина бесконечного ранга
4.1.2 Полевое обобщение эллиптических интегрируемых систем
4.2 Системы Годена
4.2.1 Эллиптическая система Годена: стандартное описание
4.2.2 Эллиптическая з1дг система Годена: полезная переформулировка
4.3 Полевая версия систем Годена
4.3.1 1+1 э1лг модель Годена
4.3.2 2-х точечный случай и модель главного кирального поля

4.3.3 1+1 XXX модель Годена: взаимодействующие магнетики
Гейзенберга
4.3.4 1+1 XYZ модель Годена: взаимодействующие магнетики
Ландау-Лифшица
4.3.5 Гамильтоновое описание
5 Модификации расслоений и монополи
5.1 Уравнения Богомольного
5.2 Рациональное решение в скалярном случае
5.3 Эллиптическое решение в скалярном случае
5.4 О случае произвольного ранга
6 Изомонодромные деформации на эллиптической кривой.
6.1 Системы Шлезингера на эллиптической кривой
6.2 Системы Шлезингера как неавтономные системы
Хитчина
6.2.1 Симплектическая структура
6.2.2 Деформация комплексной структуры
6.2.3 Гамильтонова редукция
6.2.4 Изомонодромные деформации
6.2.5 Соответствие Гекке на неавтономных системах
7 Линейные задачи для уравнения Пенлеве VI
7.1 Рациональная линейная задача
7.2 Линейная задача в эллиптической форме
7.2.1 Эллиптизация рациональной связности
7.2.2 Параметризация {О х О х О х 0}//ОЬ(2,С)
8 Уравнение отражения и Пенлеве VI в форме неавтономного гиростата
8.1 Инволюция в расслоениях Хиггса
8.1.1 Расслоения степени ноль
8.1.2 Расслоения степени один
8.2 Пенлеве VI форме неавтономного гиростата
Жуковского-Вольтерра
8.3 Квадратичные пуассоновы алгебры
8.4 Уравнение отражения и обобщение алгебры Склянина
8.4.1 Квантовое уравнение отражения
8.4.2 Классическое уравнение отражения
8.4.3 Спиновые цепочки с динамическими граничными условиями
8.4.4 Комментарии к доказательству уравнения отражения
9 Квантовая версия соответствия Калоджеро-Пенлеве
9.1 Введение
9.2 Общая схема
9.2.1 Линейные задачи и условия совместности
9.2.2 Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
9.2.3 Нестационарное уравнение Шродингера
9.2.4 Линейные задачи и квантовое соответствие
Пенлеве-Калоджеро
9.3 Пенлеве I
9.4 Пенлеве II
9.5 Пенлеве IV

9.6 Пенлеве III
9.7 Пенлеве V
9.8 Пенлеве VI
9.9 Калибровочное преобразование линейных задач для Пенлеве VI
10 Классическо-квантовое соответствие для уравнений Пенлеве
10.1 Введение
10.2 Скалярные линейные задачи и функциональные
уравнения
10.2.1 Один простой ноль
10.2.2 Два простых нуля
10.3 Решения функциональных уравнений
10.4 U-V нары для РцРу
Заключение
Приложение А: Эллиптические функции
10.1 Основные определения и свойства
10.2 Группа Ли GL(IV, С) и эллиптические функции
10.3 Группа Ли GL(2, С) и эллиптические функции
10.4 Деформированные функции
10.5 Тэта-функции и р-функция Вейерштрасса
10.6 Уравнение теплопроводности и связанные формулы
Приложение В: Алгебры и группы Ли
Список литературы

Последнее равенство означает, что Лп приводится к блочно-диагональному виду, причем количество блоков равно п, и каждый блок представляет из себя Л размером р х р.
□ Пусть т — (а — 1 )п + /3, где а = 1,... ,р, [3 = 1,..., п. Определим операцию перестановки
Фп,р(т) = (/3-1)р + а Наше утверждение состоит в том, что искомая матрица имеет вид:
Мц — 5(фрП({) •/] ) •
Проверим это. Заметим, что обратная матрица равна: (М_1)ы = 5(фп>р(к),1). Итак (по повторяющимся индексам предполагаются свертки)
Мг}А}1еМц — 5(фр<п(1),^5^,к)А^5(фп<р(к),1) = 5(фп<р(г),1)Ап
Далее
М^ыМь1 = 5(1,3)е
мчАП]кМы = 5(фр^(г),])5(то<],м^ + п),к)5(фп<р(к),1) = 5(фп^(тойц(ф^п(г) +п)),1).
Пусть теперь ? = (Р — 1 )р + а, тогда
если а < р, то то(1^^(фРуП(1)+п) = фр,п(г)+п = ап+Р, а фщр(ап+р) = (Р~1)р+а+1 = г+1, если а = р, то тос1к((р — 1)п + Р + п) = /3, а фп,Р(Р) = (Р — 1)р + 1. ■
В дальнейшем будем использовать заглавные буквы латинского алфавита для индекса, бегущего от 1 до и, а маленькие буквы для индекса, бегущего от 1 до р. Воспользуемся доказанным утверждением и перейдем к твистованному базису. Тогда для блоков рхр имеем:
ки(х + 1) е ( дг ) (дрхр£,м(г)ф)рХГ1 д
Аи(г + т) =е(-и1)АрхрЬи(г)Архре(и^
Множитель е (-^д), устраняется заменой: Ьи(г) Ьи(г)е (—2^г), —> «/ — 1% - В ито-
ге получаем следующую форму граничных условий:
^иН-1) Ярхт>Ьи(г)С)рхг
Ьи(г + т) = е(-иІ)АрхрЬи(г)Арі е(и,;)
(2.5.7)
Ь-оператор, удовлетворяющий условиям (2.5.7) и фиксированным вычетом, можно легко получить:
-^/7(2:) = *4" (£>и)тпфтпп{2і ии)ІЇ/тпі
Р ш,п (2.5.8)
фтп(г,ии) = е (^) ф(ии - т±рг, г).
Множитель і поставлен перед импульсом для того, чтобы сохранить канонической скобку Пуассона {г/, и,/ } = 6и. Скобки Пуассона на матричные элементы 5 задаются в виде скобок Пуассона-Ли, построенных по структурным константам алгебры Ли gl(N,C):
{(£л/)а)>, (8кь)ы} = 5кJ(SIL)a+c,Ь+dKaЬ,cd ~ 5ц(3кІ)а.--с,Ь+ЛКЫ,аЪ • (2.5.9)
Здесь использованы два различных базиса: стандартный для рхр блоков (I, Т = 1 ...п) и базис синус-алгсбры (А.61-А.66) для элементов блоков. Квадратичный гамильтониан:
Н = I - Т. ^Гг(5„£_т,_п)Тг(5^Ет„)Е2(цщ - (2.5.10)
1=1 /Д т,п