Вероятностное представление в квантовой физике

• Автор: Чернега, Владимир Николаевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 152 с.

Содержание
Введение
1 ГЛАВА. КЛАССИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
1.1 Преобразование Радона функции распределения на фазовом пространстве
1.2 Аналогия между преобразованием Лоренца и поворотами в фазовом пространстве
1.3 Связь волновой функции и функции распределения вероятности классического гармонического осциллятора
1.4 Основное и возбужденное состояния классического гармонического осциллятора
1.5 Уравнение эволюции для волновой функции классического гармонического осциллятора
1.6 Гауссовские решения уравнения, аналогичного уравнению Шредингера
для классического осциллятора
1.7 Гильбертово пространство состояний классического осциллятора
1.8 Интегралы движения параметрического классического осциллятора
1.9 Отображение Вейля-Вигнера-Мойала
1.10 Уравнение эволюции для волновой функции и матрицы плотности
1.11 Фоковские состояния и пропагатор в томографическом представлении .
2 ГЛАВА. ТОМОГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
2.1 Кинетическое уравнение Лиувилля в томографическом представлении. Нерелятивистский случай
2.2 Обобщение кинетического уравнения Лиувилля в томографическом представлении. Нерелятивистский случай
2.3 Релятивистский случай
3 ГЛАВА. БИСТОХАСТИЧЕСКАЯ МАТРИЦА И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАНТОВЫХ НАБЛЮДАЕМЫХ

3.1 Эрмитовы матрицы и собственные вектора
3.2 Средние значения наблюдаемых величин
3.3 Высшие моменты и наблюдаемые величины
3.4 Кудит
3.5 Пример наблюдаемой величины кубита
3.6 Операторы в представлении Гейзенберга
ГЛАВА. СПИНОВЫЕ СОСТОЯНИЯ В ВЕРОЯТНОСТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
4.1 Томограмма спинового состояния
4.2 Неравенство Белла и явление перепутанности состояний
4.3 Характеристическая функция состояния двух спинов в вероятностном представлении
4.4 Сложение спинов в вероятностном представлении квантовой механики
4.5 Кубиты и стохастические матрицы
4.6 Матрицы как вектора
4.7 Редукция функций распределения
4.8 Стохастическая матрица, определяемая кубитом
4.9 Два кубита: сепарабельные и перепутанные состояния
4.10 Сепарабельные и перепутанные состояния
4.11 Необходимое условие сепарабельности
4.12 Пример перепутанных состояний
4.13 Сведение исследования сепарабельности состояния кубита-кутрита к исследованию условий нарушения неравенства Белла для двух кубитов
4.14 Кубит-кутрит и два кутрита
4.15 Редукционный критерий сепарабельности состояний двух кудитов
ГЛАВА. ВЕКТОРА ВЕРОЯТНОСТИ, ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАНТОВОГО СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ И СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ТОМОГРАФИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
5.1 Вектора вероятности
5.2 Энтропия и вероятность
5.3 Томограммы состояний кудитов и кубитов
5.4 Томографический кумулянт
5.5 Энтропия и информация как характеристика кубитных состояний .
5.6 Относительная энтропия
5.7 Условие субадцитивности
5.8 Условие сильной субаддитивпости
5.9 Некоторые неравенства для положительных чисел и функций . . .
5.10 Неравенства для специальных функций
6 ГЛАВА. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ В ВЕРОЯТНОСТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Часть 1. Соотношения неопределенности, зависящие от состояний
6.1 Оптическая томограмма состояния фотона
6.2 Соотношения неопределенности Трифонова в томографической форме
6.3 Как мы можем проверить соотношения неопределенности?
6.4 Кубитный портрет для оптических томограмм
6.5 Портрет матрицы плотности
Часть 2. Соотношения неопределенности, зависящие от чистоты состояния и возможное усиление эффекта квантового тунелирования
6.6 Соотношения неопределенности
6.7 Соотношения неопределенности, зависящие от параметра чистоты .
6.8 Декогерениность как способ увеличения эффективности туннелирования
7 ГЛАВА. СИСТЕМЫ С КЛАССИЧЕСКИМИ И КВАНТОВЫМИ ПОДСИСТЕМАМИ В ТОМОГРАФИЧЕСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
7.1 Корреляции случайных величин
7.2 Корреляция квантовых и классических переменных
7.3 Уравнение эволюции
8 Заключение
Список литературы

Например, в случае гармонического осциллятора с постоянной частотой получаем

е Р+7Т „ V
щ„(А>,М) = , =---~нп( ~гТГ^)- (Ш)
у 7г(/12 + 1/2)2пп I1 + V
Гауссово когерентное состояние приводит к функции распределения вероятности в виде гауссиана
1 (Х-Х(1))
■ша(Х,ц,1/,г) = у=—-е . (132)
'2жа
Здесь среднее значение координаты X (1) равно
А(1) = ру/2(Ие(ае~и)) + 1^-/2(/т7г(ое_г<)). (133)
Дисперсия в гауссовом распределении выражается через параметры р и и
а2 = р2 + «/*± (134)
Для осциллятора с зависящей от времени частотой форма распределения сохраняется, но средние значения и дисперсии зависят от функции с(1), а, именно,
Х(Ь) = /гс/0(<7,рД) +1'Ра(я,р^). (135)
где „> _ „»Ш! + ^!Я+2„т„, азе)
а ковариация равна

(о о л> РЧ‘ (137)
Томограмма состояния, подобного фоковскому, выражается через полиномы Эрмита. Пропагатор в томографическом представлении имеет вид
К(X, р, и, X', ц',1/'Д) = 5(Х - Х')5(р - д0(р, и,1))5{1/' - ро(р, щ г))- (138)
Томограмма любого состояния классического параметрического осциллятора выражается через пропагатор следующим образом
уо{Х, р, и, I) = J К(X, р, и, X', р!. и', г)и.’(А'', р, и', I = 0)с/Лг'ф/Л''. (139)
Отсюда видно, что пропагатор классического параметрического осциллятора совпадает с пропагатором квантового параметрического осциллятора в томографическом представлении.